Καλύτερες σταθερές σε ανισότητα

#1

Να βρείτε το μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό C_1

και το μικρότερο πραγματικό αριθμό C_2

έτσι ώστε για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d,e

να ισχύει

$\displaystyle{C_1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{e+a}<C_2.}$

#2

Επαναφορά!

#3

Καταρχήν θα δείξουμε ότι $1< \displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b} <4$ και ότι οι σταθερές

και

είναι οι καλύτερες δυνατές.

$\blacksquare$ Είναι $\dfrac{a}{a+b} > \dfrac{a}{a+b+c+d+e}$ και εφαρμόζοντας αυτή κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε:

$\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b} > \displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c+d+e}=1$

$\blacksquare$ Όμοια, αφού $\dfrac{a}{a+b} < \dfrac{a+c+d+e}{a+b+c+d+e}$ άρα εφαρμόζοντας αυτή κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε:

$\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b} < \displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a+c+d+e}{a+b+c+d+e}=4$

$\clubsuit$ Θα δείξουμε τώρα ότι η τιμή

είναι η βέλτιστη (δηλαδή η μεγαλύτερη δυνατή) δείχνοντας ότι η παράσταση $A=\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b}$ μπορεί να πάρει τιμές οσοδήποτε κοντά στο

Πράγματι αν θέσουμε $a=x^4, \ b=x^3, \ c=x^2, \ d=x, \ e=1$ με x > 0

τότε $A=\dfrac{4x}{x+1}+\dfrac{x^4}{x^4+1}$ και έτσι $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{4x}{x+1}+\dfrac{1}{x^4+1}\right) = 1$ πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχουν τιμές των a,b,c,d,e

(οι παραπάνω με το

οσοδήποτε μικρό κοντά στο

) για τις οποίες η παράσταση

πλησιάζει οσοδήποτε κοντά στο

.

$\clubsuit$ Τέλος, θα δείξουμε ότι η τιμή

είναι η βέλτιστη (δηλαδή η μικρότερη δυνατή) δείχνοντας ότι η παράσταση $A=\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b}$ μπορεί να πάρει τιμές οσοδήποτε κοντά στο

Όμοια, αν θέσουμε $a=1, \ b=x, \ c=x^2, \ d=x^3, \ e=x^4$ με x > 0

τότε $A=\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{x^4}{x^4+1}$ και έτσι $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{x^4}{x^4+1}\right) = 4$ πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχουν τιμές των a,b,c,d,e

(οι παραπάνω με το

οσοδήποτε μικρό κοντά στο

) για τις οποίες η παράσταση

πλησιάζει οσοδήποτε κοντά στο

.

Άρα τελικά C_1=1

και

.

Αλέξανδρος

#4

Ας γενικεύσουμε:

Δίνονται $\displaystyle{n>2}$ θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{x_1,x_2,...,x_n.}$
Ποιο είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης

$\displaystyle{f=\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j}{a_j+a_{j+1}}}$ ;

Εννοείται ότι οι δείκτες υπολογίζονται $\displaystyle{\mod n.}$

Καλύτερες σταθερές σε ανισότητα

Καλύτερες σταθερές σε ανισότητα

Re: Καλύτερες σταθερές σε ανισότητα

Re: Καλύτερες σταθερές σε ανισότητα

Re: Καλύτερες σταθερές σε ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση