Πολυώνυμο και πρώτοι

#1

Βρείτε όλα τα πολυώνυμα Q(x) = ax^2 + bx + c

με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε να υπάρχουν διαφορετικοί ανά δύο πρώτοι p_1, p_2, p_3

με

#2

Δίχως βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το πολύ ένας από τιυς αριθμούς $Q\left(p_1\right)$ , $Q\left(p_2\right)$ και $Q\left(p_3\right)$ είναι αρνητικός (θεωρώντας αντί του $Q \left(x \right)$ το $-Q \left(x \right)$ ). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $Q\left(p_1\right) = Q\left(p_2\right) = Q\left(p_3\right)=11$ , τότε το πολυώνυμο $P\left( x \right) = Q\left(x\right) - 11$ είναι βαθμού το πολύ

και έχει τρεις διακεκριμένες ρίζες p_1, p_2, p_3

, άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Επομένως, στην περίπτωση αυτή είναι $Q\left(x\right) = 11$ .

$\bullet$ Έστω ότι $Q\left(p_1\right) = Q\left(p_2\right) = 11$ και $Q\left(p_3\right)=-11$ . Τότε, θα είναι $P\left(p_1\right) = P\left(p_2\right) = 0$ , οπότε $P\left(x \right) = a\left(x - p_1\right)\left(x - p_2\right)$ . Άρα, θα είναι:

$\displaystyle{ a\left(p_3- p_1\right)\left(p_3 - p_2\right)= P\left(p_3\right) = Q\left(p_3\right) - 11 = -22}$ $\bf\color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Αν οι αριθμοί p_1, p_2, p_3

είναι όλοι περιττοί, τότε το αριστερό μέλος της $\bf\color{red} \left( \bigstar \right)$ είναι πολλαπλάσιο του

, άτοπο.

Έστω ότι p_3 = 2

. Τότε, οι αριθμοί p_3 - p_1

και

δεν μπορεί να είναι και οι δύο ίσοι με

, οπότε από την $\bf\color{red} \left( \bigstar \right)$ προκύπτει ότι $\{p_1, p_2\} = \{3, 13\}$ . Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων $Q\left(3\right) = Q\left(13\right) = 11$ και $Q\left(2\right)=-11$ βρίσκουμε ότι a=-2

,

και

.

Έστω τώρα ότι (χωρίς βλάβη της γενικότητας) είναι p_2 = 2

. Τότε, ο αριθμός p_3 -p_1

είναι άρτιος, ενώ ο p_3 - p_2

είναι περιττός, οπότε από την $\bf\color{red} \left( \bigstar \right)$ προκύπτουν οι περιπτώσεις p_1 = 5

και

ή

και

. Όπως πριν, προκύπτουν οι τιμές $\left(a, b, c \right) = \left(11, -77, 121)$ ή $\left(a, b, c \right) = \left(-1, 13, -11)$ .

Τελικά, έχουμε

περιπτώσεις για το $Q\left(x \right)$ : τα πολυώνυμα $Q\left(x\right) = 11$ , $Q\left(x\right) = x^2 -13x +11$ , $Q\left(x\right) = 2x^2 -32x +67$ , $Q\left(x\right) = 11x^2 -77x +121$ και τα αντίθετά τους.

Πολυώνυμο και πρώτοι

Πολυώνυμο και πρώτοι

Re: Πολυώνυμο και πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση