Διαιρετότητα (τετράγωνο πρώτου)

#1

Έστω

ένας πρώτος. Δείξτε ότι

$\displaystyle{p^2|\sum_{k=1}^{p-1}k^{2p+1}.}$

#2

Από το διωνυμικό θεώρημα έχουμε ότι

$r^{2p+1} + (p-r)^{2p+1} \equiv r^{2p+1} + (2p+1)pr^{2p} - r^{2p+1} \equiv pr^{2p} \bmod p^2$ .

Επομένως

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p-1} k^{2p-1} = \sum_{r=1}^{(p-1)/2} (r^{2p+1} + (p-r)^{2p+1}) \equiv p \sum_{r=1}^{(p-1)/2} r^{2p} \bmod p^2. }$

Όμως από το μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε

$\displaystyle{ \sum_{r=1}^{(p-1)/2} r^{2p} \equiv \sum_{r=1}^{(p-1)/2} r^{2} \equiv \frac{(p-1)(p+1)p}{24} \bmod p \equiv 0 \bmod p}$

όπου στην τελευταία ισοδυναμία χρησιμοποιήσαμε ότι p > 3

. Το ζητούμενο έπεται.

Διαιρετότητα (τετράγωνο πρώτου)

Διαιρετότητα (τετράγωνο πρώτου)

Re: Διαιρετότητα (τετράγωνο πρώτου)

Μέλη σε σύνδεση