n-οστές ρίζες

#1

Για τους θετικούς αριθμούς $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_q,b_1,b_2,...,b_p}$ ισχύει η σχέση

$\displaystyle{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_q}=\sqrt[n]{b_1}+\sqrt[n]{b_2}+...+\sqrt[n]{b_p}}$ για άπειρες τιμές του

φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$

Να δειχθεί ότι

α) $\displaystyle{p=q}$ και

β) $\displaystyle{a_i=b_i}$ για κάθε $\displaystyle{i=1,2,...,p}$

Για το β) δεν έχω λύση

#2

(α) Παίρνοντας το όριο όταν το

τείνει στο άπειρο παίρνουμε p=q

. (Επειδή $x^{1/n} \to 1$ για

θετικό πραγματικό.)

(β) Ορίζουμε $x_i = \sqrt[p!]{a_i}$ και $y_i = \sqrt[p!]{b_i}$ . Παρατηρούμε τώρα ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^p x_i^k = \sum_{i=1}^p y_i^k}$ για κάθε $k=1,2,\ldots,p$ . Από τους τύπους του Νεύτωνα (δείτε εδώ) κάθε στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο στα x_i

ισούται με το αντίστοιχο στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο στα y_i

. Όμως τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα είναι ως προς το πρόσημο οι συντελεστές του πολυωνύμου $(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_p)$ . Επομένως $(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_p) = (x-y_1) \cdots (x-y_p)$ και άρα μετά ίσως από κάποια μετάθεση έχουμε x_i = y_i

για κάθε

. Το ζητούμενο έπεται.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Δημήτρη,

Ὑπέθεσες ὅτι ἡ ἰσότης ἰσχύει διά κάθε

. Ὅμως ἰσχύει μόνο γιά ἄπειρες τιμές τοῦ

!

#4

Ναι Γιώργο έχεις δίκιο. Δεν διάβασα προσεκτικά την άσκηση. Θα πρέπει να το ξανασκεφτώ.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Πάντως μέ λίγη προσπάθεια διορθώνεται - Ἄν ἰσχύει γιά ἄπειρες τό πλῆθος τιμές ἰσχύει διά κάθε

φυσικό - Ἀκόμη καί διά κάθε

πραγματικό! (Ὑπόδειξη. Μιγαδική Ἀνάλυση.)

#6

Ναι έχεις δίκιο! Με σωστή διατύπωση του identity theorem (όπου κοιτάμε μόνο αν οι συναρτήσεις συμφωνούν σε σύνολο που έχει σημείο συσσώρευσης) βγαίνει.

Σίγουρα όμως πρέπει να βγαίνει και διαφορετικά.

n-οστές ρίζες

n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση