Σύνθετος

#1

Οι θετικοί ακέραιοι a, b, c, d

είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{a^2+ab+b^2= c^2+cd+d^2.}$
Δείξτε ότι ο αριθμός a+b+c+d

είναι σύνθετος.

Mikesar · #2

Πολύ ωραία άσκηση.
Η αρχική σχέση γίνεται:
$(a+b)^2-ab=(c+d)^2-cd\Leftrightarrow (a+b-c-d)(a+b+c+d)=ab-cd$
Αν a+b=c+d

, τότε

ο οποίος είναι σύνθετος.
Διαφορετικά, υποθέτω ότι ο αριθμός a+b+c+d=S

είναι πρώτος. Θεωρώ το πολυώνυμο P(x)=(x-a)(x-b)-(x+c)(x+d)

.
Αυτό ισοδύναμα γράφεται P(x)=-xS+ab-cd

, έτσι $S|P(x)\ \forall x\in\mathbb{Z}$
Τώρα, θέτοντας για παράδειγμα όπου

το

έχω ότι

και αφού έχω υποθέσει ότι ο

είναι πρώτος, έχω ότι S|a+c

ή

το οποίο είναι προφανώς άτοπο.
Συνεπώς ο

πρέπει να είναι σύνθετος.