Ισχυρισμός...

kostas_zervos · #1

Στην προσπάθεια μου να λύσω αυτό προέκυψε ο παρακάτω ισχυρισμός τον οποίο δεν μπόρεσα αποδείξω :

Αν για του θετικούς ακέραιους $\color{blue}m\;,\;n$ ισχύει ότι $\displaystyle \color{blue}\frac{m+2}{2}<n<m$ , τότε το $\color{blue} 2^{2n-2}-2^m+1$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου.

Αν κάποιος θέλει να ασχοληθεί...

Μετά από υπόδειξη του Σπύρου Καπελίδη άλλαξα τον τίτλο. Τον ευχαριστώ...

Αρχιμήδης 6 · #2

Επαναφορά!

Για να δυσκόλεψε τον αείμνηστο Κώστα θα έχει αρκετές δυσκολίες ...

Αρχιμήδης 6 · #3

kostas_zervos έγραψε:Στην προσπάθεια μου να λύσω αυτό προέκυψε ο παρακάτω ισχυρισμός τον οποίο δεν μπόρεσα αποδείξω :

Αν για του θετικούς ακέραιους $\color{blue}m\;,\;n$ ισχύει ότι $\displaystyle \color{blue}\frac{m+2}{2}<n<m$ , τότε το $\color{blue} 2^{2n-2}-2^m+1$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου.

Αν κάποιος θέλει να ασχοληθεί...

Μετά από υπόδειξη του Σπύρου Καπελίδη άλλαξα τον τίτλο. Τον ευχαριστώ...

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ότι ...

Είναι αδύνατον να βρούμε θετικούς ακέραιους a,b

ώστε

$2^{a+b}-2^b+1=c^2$ , για b>0

και

Για να δούμε...

$2^{a+b}-2^b+1=c^2$

2^b(2^a-1)=(c-1)(c+1)

Προφανώς

περιττός οπότε

Έχουμε 2 περιπτώσεις.

Περίπτωση 1

$2^{b-1}|c-1$ οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος

ώστε

$c=2^{b-1}m+1$ και αντικαθιστώ τώρα των

στην αρχική εξίσωση.

Τελικά θα έχουμε

$2^a-1=2^{b-2}m^2+m$ και αφού a<b-2

δεν έχω λύσεις.

Περίπτωση 2

$2^{b-1}|c+1$ οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος

ώστε

$c=2^{b-1}n-1$ και αντικαθιστώντας τον

στην αρχική εξίσωση τελικά θα έχουμε:

$2^{b-2}n^2-n=2^a-1$ και δεδομένου ότι a<b-2

δεν έχει λύσεις.

Αρχιμήδης 6 · #4

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:Στην προσπάθεια μου να λύσω αυτό προέκυψε ο παρακάτω ισχυρισμός τον οποίο δεν μπόρεσα αποδείξω :

Αν για του θετικούς ακέραιους $\color{blue}m\;,\;n$ ισχύει ότι $\displaystyle \color{blue}\frac{m+2}{2}<n<m$ , τότε το $\color{blue} 2^{2n-2}-2^m+1$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου.

Αν κάποιος θέλει να ασχοληθεί...

Μετά από υπόδειξη του Σπύρου Καπελίδη άλλαξα τον τίτλο. Τον ευχαριστώ...

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ότι ...

Είναι αδύνατον να βρούμε θετικούς ακέραιους ώστε

$2^{a+b}-2^b+1=c^2$ , για και

Για να δούμε...

$2^{a+b}-2^b+1=c^2$

Προφανώς περιττός οπότε

Έχουμε 2 περιπτώσεις.

Περίπτωση 1

$2^{b-1}|c-1$ οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε

$c=2^{b-1}m+1$ και αντικαθιστώ τώρα των στην αρχική εξίσωση.

Τελικά θα έχουμε

$2^a-1=2^{b-2}m^2+m$ και αφού δεν έχω λύσεις.

Περίπτωση 2

$2^{b-1}|c+1$ οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε

$c=2^{b-1}n-1$ και αντικαθιστώντας τον στην αρχική εξίσωση τελικά θα έχουμε:

$2^{b-2}n^2-n=2^a-1$ και δεδομένου ότι δεν έχει λύσεις.

Η περίπτωση

έχει σφάλμα στην τελευταία σειρά (το διαπίστωσα τώρα στην προσπάθεια μου να λύσω τη γενικότερη εξίσωση

$2^a\pm2^b+1=n^2$ στους φυσικούς ) συνεπώς δεν έχει αποδειχθεί!

Αρχιμήδης 6 · #5

Απίστευτη σύμπτωση με τις ημερομηνίες....!

#6

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Απίστευτη σύμπτωση με τις ημερομηνίες....!

Ο Δημήτρης, φαντάζομαι εννοεί τις δύο αναρτήσεις του που διαφέρουν ακριβώς ένα χρόνο.

Δυστυχώς υπάρχει κι άλλη σύμπτωση.

Ο Κώστας έκανε την ανάρτησή του στις 18 Μαΐου 2013.

Έχασε την άνιση μάχη που έδινε, ακριβώς ένα χρόνο μετά.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#7

Ένα παρόμοιο πρόβλημα:
http://artofproblemsolving.com/communit ... ect_square

Δεν ξέρω αν βοηθάει στο αρχικό...

Αρχιμήδης 6 · #8

Εγώ πάλι Θανάση δεν βρίσκω σφάλμα στην απόδειξή μου (πλέον) και αυτό το οφείλω στον Παπαδόπουλο Σταύρο .

Τον ευχαριστώ.

Ισχυρισμός...

Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Re: Ισχυρισμός...

Μέλη σε σύνδεση