Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(x)+y) = f(x-y)+f(x^2)+2y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(x^2+f(x)+y) = f(x-y)+f(x^2)+2y,\quad (\bf 1)\quad ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$\bullet$ Η f(x)=x

είναι μία που ικανοποιεί την $\bf (1)$

$\bullet$ Θέτουμε f(x)-x=g(x)

, η ${\bf (1)}\Longrightarrow g(x^2+x+g(x)+y)+g(x)=g(x-y)+g(x^2),\quad \bf (2)$

$\bullet$ για $y:=\dfrac{-x^2-g(x)}{2},{\bf(2)}\Longrightarrow g(x)=g(x^2)=g(-x)$

${\bf (2)}\Longrightarrow g(x^2+x+g(x)+y)=g(x-y),\quad \bf (3)$

$\bullet$ $x:=ax \quad {\bf (3)}\Longrightarrow g(a^2x^2+ax+g(ax)+y)=g(ax-y),\quad {\bf (4)},\quad a\in \mathbb R$

$\bullet$ $y:=-a^2x^2-ax-g(ax)\quad {\bf (4)}\Longrightarrow g(0)=g(g(ax)+a^2x^2+2ax),\quad {\bf (5)}$

$\bullet$ $y:=-a^2x^2+ax+x-g(ax)\quad {\bf (4)}\Longrightarrow g(x)=g(g(ax)+a^2x^2-2ax-x),\quad {\bf (6)}$

$\bullet$ με $a=-\dfrac{1}{4}$ από τις ${\bf (5),(6)}$ παίρνουμε g(x)=g(0)=c

άρα $\bf f(x)=x+c,x\in \mathbb R$ που ικανοποιεί την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=534271

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση