Βουλγάρικα Προβλήματα!

#1

Μια μικρή συλλογή από διαγωνιστικά προβλήματα της γείτονος.
Προτείνω, αν κάποιος θέλει να ασχοληθεί με κάποιο/α από αυτά, να το προτείνει ως ξεχωριστό θέμα στον παρόντα φάκελο με αρίθμηση του τύπου Βουλγάρικα 1 ή κάτι τέτοιο.

Ch.Chortis · #2

Ρίχνοντας μια ματιά, παρατήρησα οτι είναι πολύ ωραία τα προβλήματα που προτείνετε και αξίζει να ασχοληθεί ο οποιοσδήποτε (και ιδιαίτερα κάποιος που ασχολείται με τους διαγωνισμούς) με αυτά. Ευχαριστούμε.

#3

Άλλο ένα καταπληκτικό "αρχείο του Θάνου"!

Θα βάζω παρακάτω τους συνδέσμους σε όσα προβλήματα προτείνονται! Ευχαριστούμε Θάνο!

1. Να βρεθεί το πλήθος λύσεων του συστήματος:
$\displaystyle \left(\Sigma \right): \begin{cases} x+y+z=3xy \\ x^2+y^2+z^2=3xz \\ x^3+y^3+z^3=3yz \end{cases}$

2.

3.

4.

5. Δίνονται οι εξισώσεις [x]^3+x^2=x^3+[x]^2

,

.

Να αποδείξετε ότι η πρώτη εξίσωση έχει μόνο ακέραιες λύσεις και ότι η δεύτερη εξίσωση έχει μη ακέραια λύση.

6.

7.

8. Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση $\displaystyle{z^2+1=xy(xy+2y-2x-4).}$

9. Η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)_{n = 1}^\infty }$ ορίζεται ως ακολούθως: $\displaystyle{{a_1} = 0}$ και $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + 4n + 3}$ για κάθε θετικό ακέραιο

. Να υπολογίσετε το όριο

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt {{a_n}} + \sqrt {{a_{4n}}} + \cdots + \sqrt {{a_{{4^{10}}n}}} }}{{\sqrt {{a_n}} + \sqrt {{a_{2n}}} + \cdots + \sqrt {{a_{{2^{10}}n}}} }}.}$

10. Αν a,b,c

ακέραιοι και ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)}{2}}$

είναι τέλειο τετράγωνο, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a=b=c.}$

11.

12. Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b

για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{\left[ {a\left[ {bn} \right]} \right] = n - 1}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$

για κάθε θετικό ακέραιο

.

13.

14. Να βρεθούν οι ακέραιοι a,b,c,d

, για τους οποίους
$\displaystyle{ ac-3bd=5, ad+bc=6 }$

15. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{a \ne 0}$ και $\displaystyle{b}$ , ώστε για κάθε μιγαδική ρίζα

της εξίσωσης $\displaystyle{{z^4} - a{z^3} - bz - 1 = 0}$ να ισχύει $\displaystyle{\left| {a - w} \right| \ge \left| w \right|.}$

16. Να αποδείξετε 'ότι $\displaystyle{t^2(xy+yz+zx)+2t(x+y+z)+3\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x,y,z,t\in [-1,1].}$

17. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου $\displaystyle{a,}$ για την οποία το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=a, \\ x^3+y^3+z^2=a \end{cases}}$

δεν έχει ακέραια λύση.

18.

19. Οι πραγματικοί αριθμοί a,b

ικανοποιούν τη σχέση $b^3 +b \le a - a^3$ . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του a + b

.

20. Αν $\displaystyle{a,b,c > 0,}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\boxed{\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{{a + b + c}}{{12}}}}$ .

21.

parmenides51 · #4

σ' ευχαριστώ

(Καταχωρήθηκε στα Φυλλάδια σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά)

Theoxaris Malamidis · #5

Ευχαριστώ!

Βουλγάρικα Προβλήματα!

Βουλγάρικα Προβλήματα!

Re: Βουλγάρικα Προβλήματα!

Re: Βουλγάρικα Προβλήματα!

Re: Βουλγάρικα Προβλήματα!

Re: Βουλγάρικα Προβλήματα!

Μέλη σε σύνδεση