Βουλγάρικο Πρόβλημα 5

kostas_zervos · #1

Δίνονται οι εξισώσεις [x]^3+x^2=x^3+[x]^2

,

.

Να αποδείξετε ότι η πρώτη εξίσωση έχει μόνο ακέραιες λύσεις και ότι η δεύτερη εξίσωση έχει μη ακέραια λύση.

Για την πρώτη.

Έστω

λύση της εξίσωσης με $[x]=n\in\mathbb{Z}$ . Τότε $x=n+\theta$ , όπου $\theta\in[0,1)$ .

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση έχουμε:

$n^3+(n+\theta)^2=(n+\theta)^2+n^3 \iff \theta(3n^2+(3\theta-2)n-\theta+\theta^2)=0 \iff$

$\theta=0$ , οπότε $x=n\in\mathbb{Z}$ ή

$3n^2+(3\theta-2)n-\theta+\theta^2=0$

Εδώ έχουμε $\Delta=4-3\theta^2>0$ , αφού $\theta\in[0,1)$ και
$n=\dfrac{2-3\theta\pm\sqrt{4-3\theta^2}}{6}$ .

Αλλά $0\leq \theta<1$ , οπότε συνθετικά βρίσκουμε ότι
$0< \dfrac{2-3\theta+\sqrt{4-3\theta^2}}{6}\leq \dfrac{2}{3}$ και $-\dfrac{1}{2}<\dfrac{2-3\theta-\sqrt{4-3\theta^2}}{6}\leq \dfrac{1}{6}$ .

Αλλά $n\in\mathbb{Z}$ , άρα n=0

από τη 2η περίπτωση. Τότε όμως είναι $\theta^2-\tehta=0\overset{0\leq \theta<1}{\iff}\theta=0$ .

Άρα σε όλες τις περιπτώσεις είναι $\theta=0$ , επομένως $x\in\mathbb{Z}$ .

Για την δεύτερη.

Έστω η συνάρτηση f(x)=x-[x]

, τότε

, άρα είναι περιοδική με περίοδο T=1

και θα ισχύει ότι f(x+n)=f(x)

για κάθε $x\in\mathbb{R}\;,\;n\mathbb{N}$ .

Η εξίσωση γράφεται $[x^3]+x^2=x^3+[x^2]\iff x^2-[x^2]=x^3-[x^3]\iff f(x^2)=f(x^3)$ .

Άρα για να αποδείξουμε έχει μη ακέραια λύση, θα πρέπει να βρούμε ένα θετικό ακέραιο

ώστε η εξίσωση x^3=x^2+n

να έχει μη ακέραια λύση , γιατί τότε θα είναι f(x^3)=f(x^2+n)=f(x^2)

.

Αυτό συμβαίνει π.χ. για n=3

, αφού η εξίσωση x^3-x^2-3=0

έχει μία τουλάχιστον πραγματική λύση που δεν είναι ακέραιος.

Άρα η δεύτερη εξίσωση έχει μη ακέραια λύση.

kostas_zervos · #2

Ένας άλλος τρόπος για την πρώτη εξίσωση.

$[x]^3+x^2=x^3+[x]^2 \iff x^3-x^2=[x]^3-[x]^2$ .

Έστω f(x)=x^3-x^2

, συνεχής στο $\mathbb{R}$ και παραγωγίσιμη με f'(x)=3x^2-2x

. Άρα:

Είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0]$ , γνησίως φθίνουσα στο $\left[0,\dfrac{2}{3}\right]$ και γνησίως αύξουσα στο $\left[\dfrac{2}{3},+\infty\right)$ .

Αν $x\leq 0$ θα είναι και $[x]\leq 0$ , αφού $[x]\leq x$ και η εξίσωση γράφεται $f(x)=f([x]) \iff x=[x]$ (αφού $f\;1-1$ στο $(-\infty,0]$ ) , δηλαδή $x\in\mathbb{Z}$ .

Αν $x\geq 1$ θα είναι και $[x]\geq 1$ , αφού $x-1<[x]\leq x$ και $[x]\in\mathbb{Z}$ και η εξίσωση γράφεται $f(x)=f([x]) \iff x=[x]$ (αφού $f\;1-1$ στο $[1,+\infty)$ ) , δηλαδή $x\in\mathbb{Z}$ .

Αν 0<x<1

, τότε

και η εξίσωση γράφεται $x^3-x=0 \iff x=0$ ή x=-1

ή

που απορρίπτονται , αφού 0<x<1

.

Άρα όλες οι λύσεις της εξίσωσης είναι ακέραιοι.

Βουλγάρικο Πρόβλημα 5

Βουλγάρικο Πρόβλημα 5

Re: Βουλγάρικο Πρόβλημα 5

Μέλη σε σύνδεση