Θέμα Συνδυαστικής Απαρίθμησης

Ανδρέας Πούλος · #1

Θεωρούμε τους ακέραιους αριθμούς από το 1000 έως και το 1.000.000.
Πόσοι από αυτούς περιέχουν την τριάδα 123 ή την τριάδα 456, αλλά όχι και τις δύο τριάδες μαζί;
Ανδρέας Πούλος

kleovoulos · #2

Χωρίς σιγουριά μιας και είναι Seniors.

ΤΕΤΡΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι τετραψήφιοι αριθμοί που σχηματίζονται παίρνουνε τις ακόλουθες μορφές:

$\begin{cases} x123 \\ 123x \\ x456 \\ 456x \end{cases}$

Από την πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε σύνολο ${\color{red} 38}$ τετραψήφιους.

ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι πενταψήφιοι αριθμοί που σχηματίζονται παίρνουνε τις ακόλουθες μορφές:

$\begin{cases} 123xy\\ xy123\\ x123y \\ 456xy \\ xy456 \\ x456y \end{cases}$

Από την πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε σύνολο ${\color{red} 560}$ πενταψήφιους.

ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι εξαψήφιοι αριθμοί που σχηματίζονται παίρνουνε τις ακόλουθες μορφές:

$\displaystyle \rm \begin{cases} \displaystyle \rm 123xyz & \\ \displaystyle \rm xyz123 & \\ \displaystyle \rm x123yz & \\ \displaystyle \rm xy123z & \\ \displaystyle \rm 456xyz & \\ \displaystyle \rm xyz456 & \\ \displaystyle \rm x456yz & \\ \displaystyle \rm xy456z & \\ \end{cases}$

Από την περίπτωση xyz123

έχω $9\cdot 10\cdot 10=900$ συνδυασμούς. Όμως θα αφαιρέσω έναν συνδυασμό οποίος θα είναι ο 456

. Δηλαδή έχω 899

συνδυασμούς.

Από τις περιπτώσεις x123yz,xy123z

βγάζω $2\cdot 900=1800$ συνδυασμούς.

Τέλος από την περίπτωση 123xyz

έχω $10\cdot 10\cdot 10=1000$ συνδυασμούς. Όμως θα αφαιρέσω έναν συνδυασμό οποίος θα είναι ο 456

. Δηλαδή έχω 999

συνδυασμούς.

Όμοια και για τις περιπτώσεις που περιέχουν την τριάδα 456.

Από την πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε σύνολο ${\color{red} 7394}$ εξαψήφιους.

Άρα το πλήθος των αριθμών που ικανοποιούν τα ζητούμενα του προβλήματος είναι ${\color{red}7992}$ .

Ευχαριστώ πάρα πολύ τον κ. Demetres για τις διορθώσεις.

Θέμα Συνδυαστικής Απαρίθμησης

Θέμα Συνδυαστικής Απαρίθμησης

Re: Θέμα Συνδυαστικής Απαρίθμησης

Μέλη σε σύνδεση