Βουλγάρικο Πρόβλημα 9

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1447
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Βουλγάρικο Πρόβλημα 9

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos »

Πρόβλημα: Η ακολουθία \displaystyle{\left( {{a_n}} \right)_{n = 1}^\infty } ορίζεται ως ακολούθως: \displaystyle{{a_1} = 0} και \displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + 4n + 3} για κάθε θετικό ακέραιο n. Να υπολογίσετε το όριο

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt {{a_n}} + \sqrt {{a_{4n}}} + \cdots + \sqrt {{a_{{4^{10}}n}}} }}{{\sqrt {{a_n}} + \sqrt {{a_{2n}}} + \cdots + \sqrt {{a_{{2^{10}}n}}} }}.}

Λύση: Παρατηρούμε ότι για κάθε ακέραιο n\ge 2 ισχύει

\displaystyle{{a_n} = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_{k + 1}} - {a_k}} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {4k + 3} \right) = 4} \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} k + 3\left( {n - 1} \right) = 4\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 3\left( {n - 1} \right) \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{{a_n} = \left( {2n + 3} \right)\left( {n - 1} \right)}}.

Για τον υπολογισμό του ζητούμενου ορίου, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με n και παρατηρούμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο m ισχύει

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt {{a_{mn}}} }}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt {\left( {2mn + 3} \right)\left( {mn - 1} \right)} }}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {\left( {2m + \frac{3}{n}} \right)\left( {m - \frac{1}{n}} \right)} = m\sqrt 2 .}

Επομένως, το ζητούμενο όριο είναι ίσο με

\displaystyle{\frac{{\left( {1 + 4 + {4^2} + \cdots + {4^{10}}} \right)\sqrt 2 }}{{\left( {1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{10}}} \right)\sqrt 2 }} = \dfrac{{\dfrac{{{4^{11}} - 1}}{{4 - 1}}}}{{\dfrac{{{2^{11}} - 1}}{{2 - 1}}}} = \frac{{\left( {{2^{11}} - 1} \right)\left( {{2^{11}} + 1} \right)}}{{3\left( {{2^{11}} - 1} \right)}} = \frac{{{2^{11}} + 1}}{3} = \frac{{2049}}{3} = \boxed{683}.}
Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες