Βουλγάρικο Πρόβλημα 15

#1

Πρόβλημα: Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{a \ne 0}$ και $\displaystyle{b}$ , ώστε για κάθε μιγαδική ρίζα

της εξίσωσης $\displaystyle{{z^4} - a{z^3} - bz - 1 = 0}$ να ισχύει $\displaystyle{\left| {a - w} \right| \ge \left| w \right|.}$

Λύση: Έστω $\displaystyle{{r_1},{r_2},{r_3},{r_4} \in \mathbb{C}}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{z^4} - a{z^3} - bz - 1 = 0}.$ Από τους τύπους Vieta έχουμε ότι:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_1} + {r_2} + {r_3} + {r_4} = a}\\ {{r_1}{r_2} + {r_1}{r_3} + {r_1}{r_4} + {r_2}{r_3} + {r_2}{r_4} + {r_3}{r_4} = 0}\\ {{r_1}{r_2}{r_3} + {r_1}{r_2}{r_4} + {r_1}{r_3}{r_4} + {r_2}{r_3}{r_4} = b}\\ {{r_1}{r_2}{r_3}{r_4} = - 1} \end{array}} \right\}}$

Θέτουμε $\displaystyle{{z_k} = \frac{{{r_k}}}{a}}$ για $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2,3,4} \right\},}$ οπότε οι παραπάνω σχέσεις γράφονται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4} = 1}\\ {{z_1}{z_2} + {z_1}{z_3} + {z_1}{z_4} + {z_2}{z_3} + {z_2}{z_4} + {z_3}{z_4} = 0}\\ {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}} + \dfrac{1}{{{z_3}}} + \dfrac{1}{{{z_4}}} = - ab}\\ {{z_1}{z_2}{z_3}{z_4} = - \dfrac{1}{{{a^4}}}} \end{array}} \right\}}$

Θέτουμε $\displaystyle{{z_k} = {x_k} + {y_k}i,}$ όπου $\displaystyle{{x_k},{y_k} \in \mathbb{R}}$ για $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}.}$ Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 1}}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ .

Επίσης, είναι:

$\displaystyle{z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = {\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4}} \right)^2} - 2\left( {{z_1}{z_2} + {z_1}{z_3} + {z_1}{z_4} + {z_2}{z_3} + {z_2}{z_4} + {z_3}{z_4}} \right) = 1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^4 {\left( {x_k^2 - y_k^2} \right)} = 1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^4 {x_k^2 = 1 + } \sum\limits_{k = 1}^4 {y_k^2} }$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ .

Από την υπόθεση έχουμε ότι για $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}}$ ισχύει:

$\displaystyle{\left| {a - {r_k}} \right| \ge \left| {{r_k}} \right| \Leftrightarrow \left| {1 - {z_k}} \right| \ge \left| {{z_k}} \right| \Leftrightarrow {\left| {1 - {z_k}} \right|^2} \ge {\left| {{z_k}} \right|^2} \Leftrightarrow 1 - 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{z_k}} \right) + {\left| {{z_k}} \right|^2} \ge {\left| {{z_k}} \right|^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {x_k} \le \frac{1}{2}.}$

Αν, για παράδειγμα, είχαμε ότι $\displaystyle{{x_1} < - \frac{1}{2},}$ τότε

$\displaystyle{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} < - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1,}$

που είναι άτοπο από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ . Επομένως, για $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{ - \frac{1}{2} \le {x_k} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {{x_k}} \right| \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow x_k^2 \le \frac{1}{4},}$

οπότε από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ είναι

$\displaystyle{1 \ge \sum\limits_{k = 1}^4 {x_k^2} = 1 + \sum\limits_{k = 1}^4 {y_k^2} \ge 1}$

και άρα $\displaystyle{{x_k} \in \left\{ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right\}}$ και $\displaystyle{{y_k} = 0}$ για $\displaystyle{k \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}}$ .

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ προκύπτει ότι τρεις από τους $\displaystyle{{{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}}}$ είναι ίσοι με $\displaystyle{{\frac{1}{2}}}$ και ο τέταρτος ίσος με $\displaystyle{{ - \frac{1}{2}}.}$ Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι

$\displaystyle{{{z_1} = {z_2} = {z_3} = - {z_4} = \frac{1}{2}}.}$

Τότε, είναι:

$\displaystyle{ - \frac{1}{{{2^4}}} = - \frac{1}{{{a^4}}} \Leftrightarrow {a^4} = {2^4} \Leftrightarrow a \in \left\{ {2, - 2,2i, - 2i} \right\}}$

και

$\displaystyle{{\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}} + \frac{1}{{{z_4}}} = 4 \Leftrightarrow - ab = 4}.}$

Ώστε, $\boxed{\displaystyle{\left( {a,b} \right) \in \left\{ {\left( {2, - 2} \right),\left( { - 2,2} \right),\left( {2i,2i} \right),\left( { - 2i, - 2i} \right)} \right\}}}$ .

Βουλγάρικο Πρόβλημα 15

Βουλγάρικο Πρόβλημα 15

Μέλη σε σύνδεση