Συναρτησιακή

kostas_zervos · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ που έχουν σύνολο τιμών το $B=[f(0),+\infty)$ και ισχύει $f(x+f(y))=f(x)+f^2(y)+2xf(y)\;\;,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$ .

#2

Κλασσική και όμορφη!

Δείτε viewtopic.php?f=111&t=18457

#3

Θέλοντας να ξεφύγω από τις...Τραπεζικές συναλλαγές ας ασχοληθώ με ένα από τα ερωτήματα του Κώστα.
Ο Θανάσης έχει φροντίσει να παραπέμψει σε πολλές παρεμφερείς περιπτώσεις αυτής της συναρτησιακής
εξίσωσης.
Η δική μου προσπάθεια έχει ως εξής:

Παρατηρώ ότι η δοθείσα γράφεται και ως εξής:

Αν f(x)=c

τότε υποχρεωτικά θα ήταν $\boxed{f(x)=0}.$

Έστω πως δεν είναι σταθερή.

$\displaystyle{f(x + f(y)) = f(x) + {\left[ {f(y) + x} \right]^2} - {x^2} \Leftrightarrow f(x + f(y)) - {\left[ {f(y) + x} \right]^2} = f(x) - {x^2}}$

αν θεωρήσω τη συνάρτηση

με $g(x)=f(x)-x^{2}$ , τότε μπορώ να πώ πως ισχύει:

$\displaystyle{g(x + f(y)) = g(x),x,y \in \mathbb{R}}$

Τώρα αν x=0

τότε $g(f(y))=g(0), y \in \mathbb{R}.$ ή αν $t=f(y)\ge f(0)$ προκύπτει πως

$g(t)=g(0), t\ge f(0).$

Αν x=-f(y)

τότε παρόμοια προκύπτει $g(t)=g(0), t\le -f(0)$

Αν f(0)<0

τότε προφανώς $g(x)=g(0),\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \boxed{f(x)=f(0)+x^2},\forall x \in \mathbb{R}$ , δεκτή

συνάρτηση αφού επαληθεύει.

Έστω f(0)>0.

Τώρα για

έχω: $g(x+f(0))=g(x), x \in \mathbb{R}.$ και επαγωγικά έχω $\displaystyle{g(x + nf(0)) = g(x),x \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}}$

Ας υποθέσουμε πως υπάρχουν $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left( { - f(0),f(0)} \right),{x_1} \ne {x_2}}$ με $\displaystyle{g({x_1}) \ne g({x_2})}$ τότε

θα ήταν και $\displaystyle{g({x_1} + 2f(0)) \ne g({x_2} + 2f(0))}$

Όμως:

$\displaystyle{\begin{array}{l} - f(0) < {x_1} < f(0) \Rightarrow f(0) < {x_1} + 2f(0) < 3f(0)\\ - f(0) < {x_2} < f(0) \Rightarrow f(0) < {x_2} + 2f(0) < 3f(0) \end{array}}$

πράγμα που σημαίνει $\displaystyle{g({x_1} + 2f(0)) = g({x_2} + 2f(0))=g(0)}$ και εδώ έχουμε την επιθυμητή αντίφαση.

Επομένως $\displaystyle{g({x_1}) = g({x_2}),\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - f(0),f(0)} \right)}$ και λόγω αυτής της άτυπης περιοδικότητας που έχει η

προκύπτει τελικά:

$\displaystyle{g(x) = g(0),\forall x \in R \Rightarrow \boxed{f(x) = f(0) + {x^2}},\forall x \in R}$ που επαληθεύει.

Γεία σου Κώστα, εκεί ψηλά...

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση