Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(\frac{x}{y+1}\right)=1-xf(x+y) ,}$ για κάθε x>y>0.

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(\frac{x}{y+1}\right)=1-xf(x+y) ,}$ για κάθε

Για

έχουμε

, άρα $f\left(\dfrac{x}{x-1+1}\right)=1-xf(x+x-1)\iff f(2x-1)=\dfrac{1-f(1)}{x}$ .

Για x>1

έχουμε $\dfrac{x+1}{2}>1$ οπότε

$f\left(2\dfrac{x+1}{2}-1\right)=\dfrac{1-f(1)}{\dfrac{x+1}{2}} \Rightarrow f(x)=\dfrac{2-2f(1)}{x+1}=\dfrac{a}{x+1}\;,\;\forall x>1$ , όπου a=2-2f(1)

.

Άρα από την αρχική για κάθε x,y

με

και $\dfrac{x}{y+1}>1\iff x-y>1$ , έχουμε
$\dfrac{a}{\dfrac{x}{y+1}+1}=1-x\dfrac{a}{x+y+1}\iff ay+a=x+y+1-ax$ .

Έτσι π.χ. για x=3,y=1

βρίσκουμε

, επομένως $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\;,\;\forall x>1$ και $f(1)=\dfrac{1}{2}$ .

Άρα $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\;,\;\forall x\geq 1$ .

Έστω ότι για κάθε $x\geq \dfrac{1}{n}$ ισχύει $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ , θα αποδείξουμε ότι για κάθε $x\geq \dfrac{1}{n+1}$ ισχύει $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ .

Για $x=\dfrac{1}{n}\;,\;0<y<\dfrac{1}{n}$ έχουμε $f\left(\dfrac{\dfrac{1}{n}}{y+1}\right)=1-\dfrac{1}{n}f\left(y+\dfrac{1}{n}\right)$ .

Αλλά $y+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n}$ , άρα $f\left(\dfrac{\dfrac{1}{n}}{y+1}\right)=1-\dfrac{1}{n}\dfrac{1}{y+\dfrac{1}{n}+1}\iff f\left(\dfrac{1}{ny+n}\right)=\dfrac{ny+n}{ny+n+1}$ .

Είναι $0<y<\dfrac{1}{n}\iff \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{ny+n}<\dfrac{1}{n}$ , άρα για $x=\dfrac{1}{ny+n}\in\left(\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n}\right)$ έχουμε $f(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}+1}=\dfrac{1}{x+1}$ .

Επίσης για $y=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{n+2}{(n+1)^2}=x$ έχουμε
$f\left(\dfrac{\dfrac{n+2}{(n+1)^2}}{\dfrac{1}{n+1}+1}\right)=1-\dfrac{n+2}{(n+1)^2}f\left(\dfrac{n+2}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{n+1}\right)\iff$
$\iff f\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{n+2}{(n+1)^2}f\left(\dfrac{2n+3}{(n+1)^2}\right)$ .

Αλλά $\dfrac{2n+3}{(n+1)^2}>\dfrac{1}{n+1}$ , άρα

$\iff f\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{n+2}{(n+1)^2}\dfrac{1}{\dfrac{2n+3}{(n+1)^2}+1}\iff$
...............................................
$\iff f\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{n+1}+1}$ .

Δηλαδή για κάθε $x\geq \dfrac{1}{n+1}$ ισχύει $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ .

Άρα για κάθε $n\in\mathbb{N}^*$ και για κάθε $x\geq \dfrac{1}{n}$ έχουμε $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ .

Έτσι για κάθε x>0

, υπάρχει $n\in\mathbb{N}^*$ ώστε $x\geq \dfrac{1}{n}$ , επομένως $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ .

Δηλαδή $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\;,\;\forall x>0$ (που επαληθεύει).

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση