ΣΥΣΤΗΜΑ13

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} - w = 0\\ {w^2} - {t^2} - x = 0\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0\\ \left( {x,y,w,t \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} - w = 0 {\quad \color{red}(1)}\\ {w^2} - {t^2} - x = 0 {\quad \color{red}(2)}\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0\\ \left( {x,y,w,t \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ,

Έστω $z_1=x+yi,\quad z_2=w+ti,\quad x,y,w,t \in \mathbb R$

κάνοντας πράξεις παίρνουμε : $z_1^2=\overline{z_2},\quad z_2^2=\overline{z_1}$

$|z_1|^2=|z_2|,\quad |z_1|=|z_2|^2 \quad \Rightarrow |z_1|=0 \quad \eta \quad |z_1|=1$

Αν $|z_1|=0\Rightarrow z_1=0\Rightarrow x=y=w=t=0$

Αν $|z_1|=1\Rightarrow |z_2|=1\Longrightarrow x^2+y^2=1 {\quad \color{red}(3)} ,\quad w^2+t^2=1 {\quad \color{red}(4)}$

$(1)+(3)\Longrightarrow 2x^2=w+1$

$(2)+(4)\Longrightarrow 2w^2=x+1\Rightarrow x=2w^2-1 \quad (\star)$

$2x^2=w+1\stackrel{(\star)}\Longrightarrow \dots \Rightarrow w=1 \quad \eta \quad 8w^3+8w^2-1=0$

Για $w=1\Rightarrow t=0,x=1,y=0$

$8w^3+8w^2-1=0\iff (2w+1)(4w^2+2w-1)=0$

από την τελευταία έχουμε $w_1=-\dfrac{1}{2},w_2=\dfrac{-1-\sqrt 5}{4} ,w_3=\dfrac{-1+\sqrt 5}{4}$

... για το καθένα βρίσκουμε τα υπόλοιπα κι επαληθεύουμε
... λείπουν οι πράξεις ,λόγω υπερβολικής ζέστης .

parmenides51 · #3

Ας συμπληρώσω και γράψω αναλυτικά την ωραία αντιμετώπιση της Φωτεινής

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} - w = 0 {\quad \color{red}(1)}\\ {w^2} - {t^2} - x = 0 {\quad \color{red}(2)}\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0\\ \left( {x,y,w,t \in R} \right) \end{array} \right.$

Έστω $z_1=x+yi,\quad z_2=w+ti,\quad x,y,w,t \in \mathbb R$

$\begin{aligned}z_1^2&=(x+yi)^2\\&=x^2-2xyi+(yi)^2\\&=x^2-y^2+2xyi\\&=(x^2-y^2)+(2xy)i\\&=w+(-t)i\\&=w-ti\\&=\overline{w+ti}\\&=\overline{z_2}\end{aligned}}$

$\begin{aligned}z_2^2&=(w+ti)^2\\&=w^2-2wti+(ti)^2\\&=w^2-t^2+2wti\\&=(w^2-t^2)+(2wt)i\\&=x+(-y)i\\&=x-yi\\&=\overline{x+yi}\\&=\overline{z_1}}\end{aligned}}$

οπότε $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} |z_1|^2=|z_2| \\ |z_1|=|z_2|^2 \right) \end{array} \right.\Rightarrow |z_1|= (|z_1|^2)^2 \Leftrightarrow |z_1|= |z_1|^4 \Leftrightarrow |z_1|=0$ ή $\displaystyle{|z_1|=1}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $|z_1|=0 \Leftrightarrow$ τότε

$\displaystyle{z_1=0 \Leftrightarrow x+yi=0+0i \Leftrightarrow x=y=0}$

$\displaystyle{|z_2|^2=|z_1|=0 \Rightarrow z_2=0 \Rightarrow w+ti=0+0i \Leftrightarrow w=t=0}$

οπότε $\displaystyle{(x_1,y_1,w_1,t_1) =(0,0,0,0)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν |z_1|=1

τότε

$\displaystyle{x^2+y^2=1}$ (3)

$\displaystyle{|z_2|^2=|z_1|=1 \Rightarrow |z_2|=1 \Rightarrow w^2+t^2=1}$ (4)

$(1)+(3)\Longrightarrow 2x^2=w+1$

$(2)+(4)\Longrightarrow 2w^2=x+1\Rightarrow x=2w^2-1$ (5)

$2x^2=w+1\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{(5)} 2(2w^2-1 )^2=w+1\Leftrightarrow 2(4w^4-4w^2+1 )=w+1$

$2x^2=w+1\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{(5)} 2(2w^2-1 )^2=w+1\Leftrightarrow 2(4w^4-4w^2+1 )=w+1$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 8w^4-8w^2-w+1=0 \Leftrightarrow (w-1)(8w^3+8w^2-1)=0\Leftrightarrow (w-1)(2w+1)(4w^2+2w-1)=0 }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow w=1}$ ή $\displaystyle{w=-\frac{1}{2}}$ ή $\displaystyle{w=\frac{-1\pm \sqrt5}{4}}$

---- Αν $\displaystyle{w=1}$ τότε

(5) : $\displaystyle{x=2w^2-1=2\cdot 1^2-1=2-1=1}$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = w \\ {w^2} - {t^2} = x\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0 \end{array} \right\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{x=w=1}\left\{ \begin{array}{l} 1 - {y^2} = 1 \\ 1 - {t^2} = 1\\ t + 2y = 0\\ y + 2t = 0 \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} y= 0 \\ t=0\\ \end{array} \right.$

οπότε $\displaystyle{(x_2,y_2,w_2,t_2) =(1,0,1,0)}$

---- Αν $\displaystyle{w=-\frac{1}{2}}$ τότε

(5) : $\displaystyle{x=2w^2-1=2\left(-\frac{1}{2}\right)^2-1=2\left(\frac{1}{4}\right)-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}}$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = w \\ {w^2} - {t^2} = x\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0 \end{array} \right\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{x=w=1}\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4} - {y^2} = -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} - {t^2} = -\frac{1}{2}\\ t + 2\left(-\frac{1}{2}\right)y = 0\\ y + 2\left(-\frac{1}{2}\right)t = 0 \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} y^2= \frac{3}{4} \\ t=y \end{array} \right. \Rightarrow$

οπότε $\displaystyle{(x_3,y_3,w_3,t_3) =\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right) }$

και $\displaystyle{(x_4,y_4,w_4,t_4) =\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}\right) }$

---- Αν $\displaystyle{w=\frac{-1+ \sqrt5}{4}}$ τότε

(5) : $\displaystyle{x=2w^2-1=2\left(-\frac{-1+ \sqrt5}{4}\right)^2-1=2\left(\frac{6-2\sqrt5}{16}\right)-1=\frac{3-\sqrt5}{4}-1=-\frac{1+\sqrt5}{4}}$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = w \\ {w^2} - {t^2} = x\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(-\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2 - {y^2} = \frac{-1+ \sqrt5}{4} \\ \left(\frac{-1+ \sqrt5}{4}\right)^2 - {t^2} = -\frac{1+\sqrt5}{4}\\ t + 2\left(-\frac{1+\sqrt5}{4}\right)y = 0\\ y + 2\left(\frac{-1+ \sqrt5}{4}\right)t = 0 \end{array} \right$ $\displaystyle{{\color {red}(S_1)}}$ που είναι αδύνατο

διότι περιέχει το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 2t +(-\sqrt5-1)y=0\\ 2y +(\sqrt5-1)t=0 \end{array} \right$ που έχει μοναδική λύση την μηδενική,

η οποία δεν επαληθεύει το σύστημα $\displaystyle{(S_1)}$

---- Αν $\displaystyle{w=\frac{-1-\sqrt5}{4}}$ τότε

(5) : $\displaystyle{x=2w^2-1=2\left(-\frac{-1-\sqrt5}{4}\right)^2-1=2\left(\frac{6+2\sqrt5}{16}\right)-1=\frac{3+\sqrt5}{4}-1=\frac{-1+\sqrt5}{4}}$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = w \\ {w^2} - {t^2} = x\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2 - {y^2} = -\frac{1+ \sqrt5}{4} \\ \left(-\frac{1+ \sqrt5}{4}\right)^2 - {t^2} = \frac{-1+\sqrt5}{4}\\ t + 2\left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)y = 0\\ y + 2\left(-\frac{1+ \sqrt5}{4}\right)t = 0 \end{array} \right$ $\displaystyle{{\color {red}(S_2)}}$ που είναι αδύνατο

διότι περιέχει το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 2t +(\sqrt5-1)y=0\\ 2y -(\sqrt5+1)t=0 \end{array} \right$ που έχει μοναδική λύση την μηδενική,

η οποία δεν επαληθεύει το σύστημα $\displaystyle{(S_2)}$

ΣΥΣΤΗΜΑ13

ΣΥΣΤΗΜΑ13

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ13

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ13

Μέλη σε σύνδεση