Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2006

[socrates]

Πρώτος γύρος Ελβετίας, 2006


1. Βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων τέτοιες ώστε οι αριθμοί να είναι επίσης πρώτοι.

2. Έστω ένας φυσικός αριθμός. Να προσδιορίσετε το πλήθος των υποσυνόλων για τα οποία δεν υπάρχουν με

3. Σε τρίγωνο έστω το σημείο τομής της με τη διχοτόμο της γωνίας
Αν το περίκεντρο του τριγώνου συμπίπτει με το έγκεντρο του τριγώνου να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου

4. Να προσδιορίσετε όλες τις θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

5. Θεωρούμε σκακιέρα Ένα τριόμινο αποτελείται από τρία μοναδιαία τετράγωνα, ένα κεντρικό τετράγωνο και δύο τετράγωνα σκέλη. Στην πάνω αριστερά γωνία της σκακιέρας είναι τοποθετημένο ένα τριόμινο με το κεντρικό τετράγωνό του στην κορυφή της σκακιέρας. Μπορούμε να στρέψουμε το τριόμινο γύρω από το κέντρο ενός από τα τετράγωνα σκέλη κατά γωνία που είναι ακέραιο πολλαπλάσιο των Για ποια και είναι δυνατόν να μετακινήσουμε το τριόμινο στην κάτω δεξιά γωνία της σκακιέρας μετά από πεπερασμένο πλήθος τέτοιων κινήσεων;

[kostas_psaromiligkos]

Για το 1: Προφανώς αν οι είναι όλοι διαφορετικοί του 2, τότε είναι όλοι περιττοί κι οι διαφορές τους είναι άρτιες, άρα πρέπει να είνια όλες ίσες με δύο, άτοπο. Άρα ένας από τους είναι ίσος με 2. Έστω . Τότε αφού ο είναι άρτιος πρώτος, πρέπει να είναι ίσος με 2. Έστω .

Συνεπώς, οι πρέπει να είναι όλοι πρώτοι κάτι που συμβαίνει μόνο για . Τελικά έχω και , άρα οι δυνατές τριάδες είναι οι αναδιατάξεις της τριάδας .

Για το 2: Χωρίζουμε τους αριθμούς σε ζευγάρια, . Αρκεί λοιπόν και πρέπει για ένα τυχαίο υποσύνολο να μην ανήκουν και οι δύο αριθμοί ενός ζευγαριού στο . Για κάθε ζευγάρι μπορούμε να διαλέξουμε έναν από τους δύο αριθμούς η κανέναν για το , συνεπώς έχουμε τρεις επιλογές για κάθε ένα από τα ζευγάρια και μπορούμε να φτιάξουμε υποσύνολα με τη ζητούμενη ιδιότητα.

[kostas_psaromiligkos]

Για το 5: Θεωρούμε τον συνηθισμένο χρωματισμό της σκακιέρας. Έστω ότι το πάνω αριστερά τετράγωνο είναι άσπρο. Ονομάζουμε κάθε άσπρο τετράγωνο τετράγωνο τύπου 1, κάθε μαύρο τετράγωνο με περιττό αριθμό σειράς τετράγωνο τύπου 2 και κάθε μαύρο τετράγωνο σε άρτια σειρά τετράγωνο τύπου τρία. Αν ονομάσουμε χ το κεντρικό τετράγωνο του -τριόμινο, y το τετράγωνο που αρχικά βρίσκεται σε τετραγωνάκι τύπου 2 και z εκείνο σε τύπου 3, (Δηλαδή έχουμε )
βλέπουμε ότι κάθε κίνηση διατηρεί την ιδιότητα (Δηλαδή έχουμε ). (Για αυτό αρκεί να θεωρήσουμε την απλή περιστροφή γύρω από ένα από τα κατά 90 μοίρες, αφού οι υπόλοιπες κινήσεις είναι συνθέσεις αυτών). Εύκολα βλέπουμε ότι στην ζητούμενη τελική θέση το βρίσκεται στην κάτω σειρά και το
στην αμέσως πάνω από αυτή, άρα αφού (Δηλαδή έχουμε ) το πρέπει να είναι περιττό. Λόγω του ότι το πρέπει να είναι ισουπόλοιπο του , άρα και το είναι περιττό. Τελικά έχουμε ότι τα πρέπει να είναι περιττά. Το ότι αυτή η συνθήκη είναι και επαρκής φαίνεται επαγωγικά (από την τελική θέση για μπορούμε εύκολα με δυο κινήσεις να φτάσουμε στην τελική θέση για και , και είναι προφανές ότι υπάρχει λύση για . Άρα τα ζητούμενα είναι όλο οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι του 3.

(λυπάμαι για την έλλειψη σχήματος αλλά δεν μπορώ να το φτιάξω στον υπολογιστή)

[Demetres]

2. Έστω ένας φυσικός αριθμός. Να προσδιορίσετε το πλήθος των υποσυνόλων για τα οποία δεν υπάρχουν με

Το διαμερίζουμε στα ζεύγη και παρατηρούμε ότι κάθε που είναι αυτής της μορφής περιέχει το πολύ ένα από τα στοιχεία του κάθε ζεύγους και αντιστρόφως. Επομένως υπάρχουν ακριβώς τέτοια υποσύνολα. (Αφού για το κάθε ζεύγος έχουμε τρεις επιλογές: Είτε το περιέχει το ένα στοιχείο, είτε το άλλο, είτε κανένα.)

[socrates]

4. Να προσδιορίσετε όλες τις θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

Το είδαμε εδώ:
viewtopic.php?p=147007#p147007