Τελικός γύρος Ελβετίας, 2010

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6603; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Τελικός γύρος Ελβετίας, 2010

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Αύγ 12, 2013 11:54 pm

Τελικός γύρος Ελβετίας, 2010

1. Τρία πιόνια βρίσκονται στην ευθεία των πραγματικών αριθμών σε θέσεις που αντιστοιχούν σε ακέραιους αριθμούς. Μπορούμε να επιλέξουμε δύο από αυτά και να μετακινήσουμε το ένα κατά 1 προς τα δεξιά και το άλλο κατά 1 προς τα αριστερά. Για ποιες αρχικές θέσεις των πιονιών μπορούμε μετά από πεπερασμένο πλήθος τέτοιων κινήσεων να φέρουμε όλα τα πιόνια στην ίδια θέση;

2. Έστω ABC

τρίγωνο, με έκκεντρο το

και $AB \ne AC.$ Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις πλευρές BC, CA ,AB

στα

Έστω

το μέσο του EF.

Η ευθεία

τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο $P \ne D.$
Δείξτε ότι το τετράπλευρο PMID

είναι εγγράψιμο.

3. Πόσες θετικές ακέραιες ρίζες έχει η εξίσωση (4a-b)(4b-a)= 2010^n,

όπου

δεδομένος θετικός ακέραιος;

4. Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z

με

ισχύει

$\displaystyle{\frac{(x + y-1)^2}{z}+\frac{(y + z-1)^2}{x}+\frac{(z + x- 1)^2}{y}\geq x + y + z.}$

5.

6. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοιες ώστε f(f(x)) + f(f(y)) = 2y + f(x-y)