Τελικός γύρος Ελβετίας, 2009

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Τελικός γύρος Ελβετίας, 2009

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Αύγ 13, 2013 12:08 am

Τελικός γύρος Ελβετίας, 2009


1.

2.

3. Έστω a,b,c,d>0. Να δείξετε ότι

\displaystyle{\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0.}

Πότε ισχύει η ισότητα;

4.

5. Έστω τρίγωνο ABC, AB\ne AC, και I το έκκεντρό του.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς BC στο σημείο D.
Αν M το μέσο της BC, να αποδείξετε ότι η ευθεία IM περνάει από το μέσο του τμήματος AD.

6. Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+, τέτοιες ώστε f(x-y+z) = f(x)+f(y)+f(z)-xy-yz+zx, για κάθε x>y>z>0.

7.

8.

9. Να προσδιοριστούν όλες οι 1-1 συναρτήσεις f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}, τέτοιες ώστε \displaystyle{f(f(n))\leq \frac{f(n)+n}{2}}, για κάθε n\in \Bbb{N} .

10. Αν n>3, δείξτε ότι ο αριθμός 4^n+1 έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο του 20.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες