Καλοκαιρινή συναρτησιακή 2

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2-y^2)=f(x)^2-f(y)^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2-y^2)=f(x)^2-f(y)^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

έχουμε

.

Για

έχουμε $f(x^2)=f^2(x)-f^2(0)=f^2(x)\geq 0$ .

Άρα για $x\geq 0$ έχουμε $f(x)=f((\sqrt{x})^2)=f^2(\sqrt{x})\geq 0$ .

Για x=0

έχουμε $f(-y^2)=f^2(0)-f^2(y)=-f^2(y)\leq 0$ .

Άρα για $x\leq 0$ έχουμε $f(x)=f(-(\sqrt{-x})^2)=-f^2(\sqrt{-x})\leq 0$ .

Είναι f(x^2)=f^2(x)

και $f((-x)^2)=f^2(-x)\iff f(x^2)=f^2(-x)$ .

Αλλά αν $x\geq 0$ , τότε $-x\leq 0$ και $f(x)\geq 0\;,\;f(-x)\leq 0$ και αν $x\leq 0$ , τότε $-x\geq 0$ και $f(x)\leq 0\;,\;f(-x)\geq 0$ .

Άρα $f(-x)=-f(x)\;,\;\forall x\in\mathbb{R}$ (περιττή).

Για x>y>0

είναι $x^2>y^2\Rightarrow x^2-y^2>0\Rightarrow f(x^2-y^2)\geq 0 \Rightarrow f(x)-f(y)\geq 0\Rightarrow f(x)\geq f(y)$ .

Για $x<y<0\Rightarrow -x>-y>0 \Rightarrow f(-x)\geq f(-y) \Rightarrow$

$\Rightarrow -f(x)\geq -f(y)\Rightarrow f(x)\leq f(y)$ .

Και για $x<0<y\Rightarrow f(x)\leq 0\leq f(y)$ .

Έτσι η

είναι αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Για $x,y\geq 0$ είναι $f(x-y)=f((\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2)=f^2(\sqrt{x})-f^2(\sqrt{y})=f(x)-f(y)$ .

Για $x,y\leq 0$ είναι $f(x-y)=f(-(\sqrt{-x})^2+(\sqrt{-y})^2)=f^2(\sqrt{-y})-f^2(\sqrt{-x})=$

=f(-y)-f(-x)=f(x)-f(y)

.

Για

, τότε

, άρα $f(x-(x-y))=f(x)-f(x-y) \iff f(x-y)=f(x)-f(y)$ .

Για x<0<y

, έχουμε

.

Άρα $f(x-y)=f(x)-f(y)\forall x,y\in\mathbb{R}$ και επομένως $f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y)\forall x,y\in\mathbb{R}$ .

Από εδώ εύκολα δείχνουμε ότι $f(n x)=nf(x)\;,\;\forall x\in\mathbb{R}\;,\;n\in\mathbb{N}$

f(-nx)=-f(nx)=-nf(x)

, άρα $f(m x)=mf(x)\;,\;\forall x\in\mathbb{R}\;,\;m\in\mathbb{Z}$ .

Άρα για x=1

έχουμε $f(m)=f(1)m\;,\;m\in\mathbb{Z}$ .

Επίσης η

είναι αύξουσα , άρα $f(1)\geq f(0)\Rightarrow f(1)\geq 0$

και για κάθε ρητό $p=\dfrac{m}{n}\;,\;m,n\in\mathbb{Z}\;,\;n\neq 0$ έχουμε:

$f\left(n\dfrac{m}{n}\right)=nf\left(\dfrac{m}{n}\right)\iff$

$\iff f(m)=nf\left(\dfrac{m}{n}\right)\iff f\left(\dfrac{m}{n}\right)=f(1)\dfrac{m}{n}$ .

Άρα για κάθε ρητό

έχουμε

.

Αν

Έστω ότι υπάρχει $x_0\in\mathbb{R}$ με f(x_0)>f(1)x_0

(όμοια αν

).

Άρα $\dfrac{f(x_0)}{f(1)}>x_0$ .

Τότε υπάρχει ρητός

με $\dfrac{f(x_0)}{f(1)}>p>x_0\Rightarrow f(x_0)>f(1)p>f(1)x_0$ , άρα f(x_0)>f(p)

και αφού η

είναι αύξουσα , θα πρέπει $x_0>p\Rightarrow f(1)x_0>f(1)p$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=f(1)x\;,\;\forall x\in\mathbb{R}$ .

Αν f(1)=0:

Τότε $f(p)=0\;,\;\forall p\in\mathbb{Q}$

Έστω ότι υπάρχει $x_0\in\mathbb{R}$ με f(x_0)>0

(όμοια αν

).

Τότε υπάρχουν ρητού p,q

με

, άρα $f(q)\geq f(x_0)\geq f(p)\Rightarrow 0\geq f(x_0)\geq 0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=0\;,\;\forall x\in\mathbb{R}$ .

Άρα $f(x)=ax\;,\;\forall x\in\mathbb{R}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=547062

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 2

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 2

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 2

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 2

Μέλη σε σύνδεση