Καλοκαιρινή συναρτησιακή 4

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y))^2=f(x^2)+f(y^2) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Έστω

$\displaystyle{\boxed{{\left( {f\left( {x + y} \right)} \right)^2} = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)}}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ ,

με $x, y \in \mathbb{R}$ , η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Θέτουμε $\displaystyle{x = y = 0}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^2} = 2f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) \in \left\{ {0,2} \right\}.}$

$\bullet$ Έστω ότι $\displaystyle{\bf \color{red} f\left( 0 \right) = 0}$ . Θέτουμε $\displaystyle{y = 0}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = f\left( {{x^2}} \right)}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{y = - x}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{0 = {\left( {f\left( 0 \right)} \right)^2} = 2f\left( {{x^2}} \right)}$

και άρα

$\displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) = 0}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Έτσι, η σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ δίνει ότι

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = 0}$

και άρα $\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = 0}}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , συνάρτηση που προφανώς επαληθεύει την $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

$\bullet$ Έστω ότι $\bf \color{red} \displaystyle{f\left( 0 \right) = 2}$ . Θέτουμε $\displaystyle{y = 0}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = f\left( {{x^2}} \right) + 2}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{y = - x}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^2} = 2f\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2}} \right) = 2}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Λόγω της $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ , η σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ γράφεται

$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = 4}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Έτσι, είναι $\displaystyle{f\left( x \right) \in \left\{ { - 2,2} \right\}}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $\displaystyle{f\left( x \right) = 2}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$ . Επομένως, αν $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right) \subseteq A \subseteq \mathbb{R}}$ , τότε

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2,}&{x \in A}\\ { - 2,}&{x \in \mathbb{R} \setminus A} \end{array}} \right.}}$

και όλες οι παραπάνω συναρτήσεις επαληθεύουν τη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

#3

Με αφορμή την:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=496877

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 4

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 4

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 4

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 4

Μέλη σε σύνδεση