Καλοκαιρινή συναρτησιακή 5

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(x)=[ x]f(\{ x\})+\{ x\}f([ x]) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(x)=[ x]f(\{ x\})+\{ x\}f([ x]) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για κάθε ακέραιο $n\neq 0$ είναι [n]=n

και $\{n\}=0$ .

Άρα $nf(n)=[n]f(\{n\})+\{n\}f([n]) \iff nf(n)=nf(0)\overset{n\neq o}{\iff}f(n)=f(0)$ και αφού f(0)=f(0)

τελικά για αν $x\in\mathbb{Z}$ , τότε f(x)=f(0)

.

Για

είναι

και $\{x\}=x$ .

Άρα $xf(x)=[x]f(\{x\})+\{x\}f([x]) \iff xf(x)=0+xf(0) \iff f(x)=f(0)$ .

Άρα $f(\{x\})=f(0)$ και f([x])=f(0)

.

Επομένως για κάθε $x\in\mathbb{R}^*$ έχουμε $xf(x)=[x]f(0)+\{x\}f(0) \iff$

$\iff xf(x)=([x]+\{x\})f(x)\iff xf(x)=xf(0)\iff f(x)=f(0)$

και αφού f(0)=f(0)

τελικά για αν $x\in\mathbb{R}$ , τότε f(x)=f(0)

.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=533070

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 5

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 5

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 5

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 5

Μέλη σε σύνδεση