Καλοκαιρινή συναρτησιακή 8

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

έχω $f^{2}(0)=0\Rightarrow f(0)=0.$

Για x=0 έχω: $f(y)=f(-y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$ Επομένως πρόκειται για άρτια συνάρτηση.

Για $y\rightarrow x$ έχω: $f(2x)=f^{2}(x)$

Για $y\rightarrow -x$ έχω: $-f(2x)=f(x)f(-x)=f^{2}(x)$

Άρα $f(2x)=-f(2x) \Rightarrow f(2x)=0, \forall x \in \mathbb{R}.$

Δηλαδή: $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}.$

Δεκτή αφού φανερά επαληθεύει την αρχική σχέση.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=535058

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 8

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 8

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 8

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 8

Μέλη σε σύνδεση