Καλοκαιρινή συναρτησιακή 10

#1

Έστω $M \subset [0,+\infty)$ ένα πεπερασμένο σύνολο.
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 και επί συναρτήσεις $f:M \to M$ τέτοιες ώστε $f(x)f^{-1}(x)=x^2,$ για κάθε $x\in M.$

Iceman · #2

Έστω

το μέγιστο στοιχείο του

. Από τη δοσμένη για x=m

$m^2=f(m)f^{-1}(m)$ , όμως αφού το

είναι το μέγιστο στοιχείο του

και
$f(m),f^{-1}(m) \in M$ ισχύει $m \geq f(m), m \geq f^{-1}(m) \implies m^2 \geq f(m)f^{-1}(m)$ αφού είναι όλα θετικά και επειδή ισχύει ισότητα στη τελευταία ισότητα και στις δύο προηγούμενες. Δηλαδή $f(m)=f^{-1}(m)=m$
Έστω m_1

το δεύτερο μεγαλύτερο στοιχείο του

. Αφού οι $f,f^{-1}$ είναι 1-1 ισχύει
$f(m_1) \neq m,f^{-1}(m_1) \neq m \implies f(m_1),f^{-1}(m_1) \leq m_1$ Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με πάνω f(m_1)=m_1

και συνεχίζοντας τον συλλογισμό για τα $m_2,m_3,...,m_{|M|-1}$ καταλήγουμε ότι
$f(x)=x , \forall x \in M$ η οποία προφανώς ικανοποιεί όλες τις συνθήκες του προβλήματος.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=523804

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 10

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 10

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 10

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 10

Μέλη σε σύνδεση