Καλοκαιρινή συναρτησιακή 12

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)f(y)+1=f(\sqrt{xy+1})^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

nikoszan · #2

... $\displaystyle{f(x)f(y) + 1 = f{(\sqrt {xy + 1} )^2}\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) > 0} f(\sqrt {xy + 1} ) = \sqrt {f(x)f(y) + 1} :\left( 1 \right)}$
Θωρώ την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1} ,x > 0}$ .Η $\displaystyle{g}$ είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα ,
οπότε είναι και $\displaystyle{1 - 1}$ .
Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ για $\displaystyle{y = x}$ έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ισχύει $\displaystyle{f(\sqrt {{x^2} + 1} ) = \sqrt {{{\left( {f(x)} \right)}^2} + 1} \Rightarrow f\left( {g\left( x \right)} \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right):\left( 2 \right)}$
Έχουμε $\displaystyle{f(\sqrt {xy + 1} ) = \sqrt {f(x)f(y) + 1} \Rightarrow f\left( {g\left( {\sqrt {xy} } \right)} \right) = g\left( {\sqrt {f\left( x \right)f\left( y \right)} } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} }$
$\displaystyle{ \Rightarrow g\left( {f\left( {\sqrt {xy} } \right)} \right) = g\left( {\sqrt {f\left( x \right)f\left( y \right)} } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{g;1 - 1} f\left( {\sqrt {xy} } \right) = \sqrt {f\left( x \right)f\left( y \right)} :\left( 3 \right)}$
Από την $\displaystyle{\left( 3 \right)}$ για $\displaystyle{y = 1}$ έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( {\sqrt {x \cdot 1} } \right) = \sqrt {f\left( x \right)f\left( 1 \right)} \Rightarrow f\left( {\sqrt x } \right) = \sqrt {f\left( 1 \right)f\left( x \right)} :\left( 4 \right)}$
Από την $\displaystyle{\left( 4 \right)}$ προκύπτει ότι για κάθε $\displaystyle{x,y > 0}$ ισχύει
$\displaystyle{f\left( {\sqrt {xy} } \right) = \sqrt {f\left( 1 \right)f\left( {xy} \right)} \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \sqrt {f\left( x \right)f\left( y \right)} = \sqrt {f\left( 1 \right)f\left( {xy} \right)} \Rightarrow }$ $\displaystyle{f\left( {xy} \right) = \frac{{f\left( x \right)f\left( y \right)}}{{f\left( 1 \right)}}:\left( 5 \right)}$

Λόγω της $\displaystyle{\left( 4 \right)}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( {\sqrt {xy + 1} } \right) = \sqrt {f\left( 1 \right)f\left( {xy + 1} \right)} \mathop \Rightarrow \limits^{f(\sqrt {xy + 1} ) = \sqrt {f(x)f(y) + 1} } \sqrt {f(x)f(y) + 1} = \sqrt {f\left( 1 \right)f\left( {xy + 1} \right)} \Rightarrow }$
$\displaystyle{f\left( {xy + 1} \right) = \frac{{f(x)f(y) + 1}}{{f\left( 1 \right)}}:\left( 6 \right)}$ και $\displaystyle{f\left( {x + 1} \right) = \frac{{f(x)f(1) + 1}}{{f\left( 1 \right)}} \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{{f\left( 1 \right)}}:\left( 7 \right)}$
Ακόμη $\displaystyle{f\left( {\frac{x}{y}y} \right)\mathop = \limits^{\left( 5 \right)} \frac{{f\left( {\frac{x}{y}} \right)f\left( y \right)}}{{f\left( 1 \right)}} \Rightarrow f\left( {\frac{x}{y}} \right) = \frac{{f\left( 1 \right)f\left( x \right)}}{{f\left( y \right)}}:\left( 8 \right)}$
Είναι $\displaystyle{f\left( {\frac{x}{y} + 1} \right) = f\left( {\frac{x}{y}} \right) + \frac{1}{{f\left( 1 \right)}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 9 \right)} f\left( {\frac{{x + y}}{y}} \right) = \frac{{f\left( 1 \right)f\left( x \right)}}{{f\left( y \right)}} + \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} \Rightarrow }$ $\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 8 \right)} \frac{{f\left( 1 \right)f\left( {x + y} \right)}}{{f\left( y \right)}} = \frac{{f\left( 1 \right)f\left( x \right)}}{{f\left( y \right)}} + \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} \Rightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + \frac{{f\left( y \right)}}{{{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}}:\left( 9 \right)}$
Λόγω της $\displaystyle{{\left( 9 \right)}}$ είναι $\displaystyle{f\left( {y + x} \right) = f\left( y \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}}:\left( {10} \right)}$ .
Από $\displaystyle{{\left( 9 \right)}}$ και $\displaystyle{\left( {10} \right)}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) + \frac{{f\left( y \right)}}{{{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}} = f\left( y \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}},\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)}$ και για $\displaystyle{y = 1}$
έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) + \frac{{f\left( 1 \right)}}{{{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}} = f\left( 1 \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( x \right)\left( {{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2} - 1} \right) = f\left( 1 \right)\left( {{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2} - 1} \right):\left( {11} \right)}$
$\displaystyle{ \bullet }$ Αν $\displaystyle{0 < f\left( 1 \right) \ne 1}$ ,τότε απο την $\displaystyle{\left( {11} \right)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( 1 \right) > 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ,η οποία δεν ικανοποιεί την υπόθεση και απορριπτεται.
Αρα είναι $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 1}$ και απο τις $\displaystyle{\left( 5 \right)}$ και $\displaystyle{\left( 9 \right)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)}$
και $\displaystyle{f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ,οπότε είναι
$\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( 1 \right)x,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ και επειδή είναι $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 1}$ ,έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = x,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ,που ικανοποιεί την υπόθεση.
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=528894

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 12

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 12

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 12

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 12

Μέλη σε σύνδεση