Καλοκαιρινή συναρτησιακή 13

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(f(x) + y) + y) = x + y + f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Από εδώ: viewtopic.php?p=182427#p182427

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

Για $\displaystyle{y=0}$ στην δοσμένη σχέση, έχουμε

$\displaystyle{f(f(f(x)))=x+f(0)\,,x\in\mathbb{R}\,\,(I)}$

Έστω $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f(x)=f(y)}$ . Τότε,

$\displaystyle{f(f(x))=f(f(y))\Rightarrow f(f(f(x)))=f(f(f(y)))\stackrel{(I)}{\Rightarrow} x+f(0)=y+f(0)\Rightarrow x=y}$

Επομένως, η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι 1-1.

Από την $\displaystyle{(I)}$ για $\displaystyle{x=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(f(f(0)))=f(0)\Leftrightarrow f(f(0))=0}$

Από την $\displaystyle{(I)}$ για $\displaystyle{x=-f(0)}$ παίρνουμε

$\displaystyle{f(f(f(-f(0))))=0=f(f(0))\Leftrightarrow f(f(-f(0)))=f(0)\Leftrightarrow f(-f(0))=0=f(f(0))\Leftrightarrow -f(0)=f(0)\Leftrightarrow f(0)=0}$

Απ' την άλλη, αν στην αρχική σχέση, θέσουμε όπου $\displaystyle{y\to -x}$ θα είναι,

$\displaystyle{f(f(f(x)-x)-x)=f(-x)\Leftrightarrow f(f(x)-x)-x=-x\Leftrightarrow f(f(x)-x)=0=f(0)\Leftrightarrow f(x)=x\,,x\in\mathbb{R}}$

Για την συνάρτηση αυτή, είναι,

$\displaystyle{f(f(f(x)+y)+y)=f(f(x+y)+y)=f(x+2\,y)=x+2\,y\,,x,y\in\mathbb{R}}$

και

$\displaystle{x+y+f(y)=x+y+y=x+2\,y\,,x,y\in\mathbb{R}}$

Εν τέλει, $\displaystyle{f(x)=x\,,x\in\mathbb{R}}$

#3

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 13

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 13

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 13

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 13

Μέλη σε σύνδεση