Καλοκαιρινή συναρτησιακή 14

#1

α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ 3f (x + y + z)- f (-x + y + z)-f (x- y + z)- f (x + y- z) =8\left(\sqrt{f(x)f(y)}+\sqrt{f(y)f(z)}+\sqrt{f(z)f(x)}\right) ,}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ 3f (x + y + z)- f (-x + y + z) - f (x- y + z)- f (x + y - z) =8\left(\sqrt{f(x)f(y)}+\sqrt{f(y)f(z)}+\sqrt{f(z)f(x)}\right) ,}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}, \ -x+y+z,x-y+z,x+y-z\geq 0.$

#2

socrates έγραψε:α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ 3f (x + y + z)- f (-x + y + z)-f (x- y + z)- f (x + y- z) =8\left(\sqrt{f(x)f(y)}+\sqrt{f(y)f(z)}+\sqrt{f(z)f(x)}\right) ,\bf \color{blue}(1)}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

$x=y=z=0 : \quad {\bf \color{blue}(1)}\Rightarrow f(0)=0$

$x=y=z\neq 0 : \quad {\bf \color{blue}(1)}\Rightarrow f(3x)=9f(x)$

$z=0 :\quad {\bf \color{blue}(1)}\Rightarrow 2f(x+y)-f(-x+y)-f(x-y)=8\sqrt{f(x)f(y)} \quad {\bf \color{blue}(2)}$

$y:=x \quad {\bf \color{blue}(2)}\Rightarrow f(2x)=4f(x)$

$y:=2x \quad {\bf \color{blue}(2)}\Rightarrow f(-x)=f(x)$

$y:=-x \quad {\bf \color{blue}(2)}\Rightarrow f(x)=0$ ικανοποιεί την αρχική.

#3

Επαναφορά για το β).

#4

socrates έγραψε:β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ 3f (x + y + z)- f (-x + y + z) - f (x- y + z)- f (x + y - z) =8\left(\sqrt{f(x)f(y)}+\sqrt{f(y)f(z)}+\sqrt{f(z)f(x)}\right) ,}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}, \ -x+y+z,x-y+z,x+y-z\geq 0.$

$x=y=z=0 \implies f(0)=0.$

$x=0, y=z \implies f(2z)=4f(z)$

$\displaystyle{x=y+z \implies \sqrt{f(y+z)}=\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(z)} \implies \sqrt{f(x)}=cx \implies f(x)=cx^2, \ c\geq 0.}$

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 14

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 14

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 14

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 14

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 14

Μέλη σε σύνδεση