Καλοκαιρινή συναρτησιακή 16

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(x+y))=(f(x))^2+f(x)+y,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Επαναφορά!

#3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(x^2+f(x+y))=(f(x))^2+f(x)+y,\quad (1)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

${\color{red}\bullet}x=y=0:\quad (1)\Rightarrow f(f(0))=f^2(0)+f(0)\quad \bigstar$

${\color{red}\bullet}x=0:\quad (1)\Rightarrow f(f(y))=f(f(0))+y,\quad (2),y\in \mathbb R,\quad f:\quad 1-1$

${\color{red}\bullet}y=-f(f(0)):\quad (2)\Rightarrow f(f(-f(f(0))))=0\Rightarrow f(c)=0$

${\color{red}\bullet}x=c:\quad (1)\Rightarrow f(c^2+f(c+y))=y\stackrel{y=0}\Longrightarrow f(c^2)=0=f(c)$

$\stackrel{1-1}\Longrightarrow c=0\quad \eta \quad c=1$

Αν $c=1\Rightarrow f(1)=0\Rightarrow f(0)=1$ άτοπο από την $\bigstar$

Άρα $c=0\Rightarrow f(0)=0,\quad f(f(x))=x ,x\in \mathbb R$

${\color{red}\bullet}y=0\quad (1)\quad {\color{blue}f(x^2+f(x))=f^2(x)+f(x)}\stackrel{x:=f(x)}\Longrightarrow {\color{red}f(f^2(x)+x)=x^2+x}$

${\color{red}\bullet}y=-x\quad (1)\Rightarrow f(x^2)=f^2(x)+f(x)-x\stackrel{x:=f(f)}\Longrightarrow f(f^2(x))=x^2+x-f(x)\Rightarrow$

$f(f^2(x))+f(x)=x^2+x=f(f^2(x)+x)\Rightarrow$

$f(f^2(x))+f(x)=f(f^2(x)+x)\stackrel{x:=f(x)}\Rightarrow$ $f(x^2)+x=f(x^2+f(x))=f^2(x)+f(x)\Rightarrow$

$f(x^2)+x=f^2(x)+f(x)\Rightarrow f(f(x^2)+x)=f(f^2(x)+f(x))=x^2+f(x)\Rightarrow$

$\color{red}{f(f(x^2)+x)=x^2+f(x)}$

Άρα $f(x)=x,x\in \mathbb R$ ικανοποιεί την αρχική.

#4

Την είδαμε και εδώ:

viewtopic.php?f=111&t=36515

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 16

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 16

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 16

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 16

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 16

Μέλη σε σύνδεση