Καλοκαιρινή συναρτησιακή 18

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(x)+2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

MEMO 2013

Thanasis Tasoulas · #2

Μια προσπάθεια
Θέτουμε:
x=0:f(2x)=f(x)+x,(1)

$y=0:f(xf(x))=f({{x}^{2}})+x,(2)$
Από την (2) και την αρχική έχουμε: $f(xf(x))=f(xf(x)+2y)-f(y)-y+1\overset{y=\frac{y}{2}}{\mathop{\Rightarrow }}\,f(xf(x)+y)=f(xf(x))+f(\frac{y}{2})+\frac{y}{2}-1$
και η (1) δίνει για $x=\frac{x}{2}:f(x)=f(\frac{x}{2})+\frac{x}{2}\Rightarrow f(2x)=f(\frac{x}{2})+\frac{3x}{2}$ , άρα η προηγούμενη σχέση γίνεται:
f(xf(x)+y)=f(xf(x))+f(2y)-y-1,(3)

$x\cdot (1)\Rightarrow xf(2x)=xf(x)+{{x}^{2}}\Rightarrow f(xf(2x))=f(xf(x)+{{x}^{2}})\overset{(3)}{\mathop{=}}\,f(xf(x))+f(2{{x}^{2}})-{{x}^{2}}-1\overset{(1)}{\mathop{=}}\,f(xf(x))+f({{x}^{2}})-1\Rightarrow$ \displaystyle{\displaystyle{f(xf(2x))=2f({{x}^{2}})+x-1,(4)

(2):x=2x:f(2xf(2x))=f(4{{x}^{2}})+2x\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,f(xf(2x))+xf(2x)=f(2{{x}^{2}})+2{{x}^{2}}+2x\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,}} $f(xf(2x))+xf(x)=f({{x}^{2}})+2{{x}^{2}}+2x\overset{(4)}{\mathop{\Rightarrow }}\,$
$f({{x}^{2}})+xf(x)-2{{x}^{2}}-x-1=0,(5)$
$(5):x=2x:f(4{{x}^{2}})+2xf(2x)-8{{x}^{2}}-2x-1=0$ και
$f(4{{x}^{2}})\overset{(1)}{\mathop{=}}\,f(2{{x}^{2}})+2{{x}^{2}}\overset{(1)}{\mathop{=}}\,f({{x}^{2}})+3{{x}^{2}}$
Άρα $f({{x}^{2}})+3{{x}^{2}}+2xf(x)+2{{x}^{2}}-8{{x}^{2}}-2x-1=0\Rightarrow$
$f({{x}^{2}})+2xf(x)-3{{x}^{2}}-2x-1=0,(6)$
$(6)-(5)\Rightarrow xf(x)-{{x}^{2}}-x=0\overset{x\ne 0}{\mathop{\Rightarrow }}\,f(x)=x+1,\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}$
Όμως η αρχική για x=y=0

γίνεται

, άρα $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{R}$ , που επαληθεύει.

Μάλλον την έκανα πιο περιπλοκή από ότι ήταν και ελπίζω να μην έκανα κανένα λάθος.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=550968

#4

Μπορούμε να λύσουμε το συγγενές πρόβλημα;

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(x)+2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
http://artofproblemsolving.com/communit ... l_equation

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 18

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 18

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 18

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 18

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 18

Μέλη σε σύνδεση