Καλοκαιρινή συναρτησιακή 22

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
f(2x + 1) = f(x),

για κάθε $x\in \Bbb{R}$ και
$f(x) - f(y) \leq |x - y|,$ για κάθε $x,y \in (−2, 2).$

Thanasis Tasoulas · #2

Μια λύση με επιφυλάξεις.
Για $x=\frac{x-1}{2}:f(x)=f\left( \frac{x-1}{2} \right)$
Επίσης στην για $x=\frac{x-1}{2}:f(\frac{x-1}{2})=f\left( \frac{\frac{x-1}{2}-1}{2} \right)=f\left( \frac{x}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right)=f(x)$
και $x=\frac{x-1}{2}:f(\frac{x-1}{2})=f\left( \frac{\frac{x-1}{2}}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right)=f\left( \frac{x}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right)=f(x)$
επομένως παρατηρούμε ότι ισχύει το εξής: $f(x)=f\left( \frac{x}{{{2}^{n}}}-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{2}^{n}}} \right) \right)=f\left( \frac{x}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right),\forall n\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{R}$
το οποίο και θα αποδείξουμε με τη μέθοδο της επαγωγής
για n=0

ισχύει. Έστω ότι ισχύει για

. Για

έχουμε:
$\displaystyle{f\left( \frac{x}{{{2}^{n+1}}}+\frac{1}{{{2}^{n+1}}}-1 \right)=f\left( 2\left( \frac{x}{{{2}^{n+1}}}+\frac{1}{{{2}^{n+1}}}-1 \right)+1 \right)=f\left( \frac{x}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right)=f(x)}$ , άρα ισχύει και για n+1

, άρα ισχύει ότι $f(x)=f\left( \frac{x}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right),\forall n\in \mathbb{N},x\in \mathbb{R}$ , και αντίστοιχα αποδεικνύετε και για τους αρνητικούς ακεραίους αν πάρουμε ότι ισχύει για

και αποδείξουμε ότι ισχύει για -n-1

με $n\in \mathbb{N}$ .
Θέτουμε τώρα στην ανισότητα όπου $x=\frac{x}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1$ με $-2<x<2\Rightarrow -2<\frac{x}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1<2\Rightarrow x\in (-{{2}^{n}}-{{1,3}^{n}}-1),n\in \mathbb{Z}$ και $y=\frac{y}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1$ αντίστοιχα άρα,
$f\left( \frac{x}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right)-f\left( \frac{y}{{{2}^{n}}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right)\le \left| \frac{x}{{{2}^{n}}}-\frac{y}{{{2}^{n}}} \right|\Rightarrow$
$f(x)-f(y)\le \frac{1}{{{2}^{n}}}\left| x-y \right|,\forall x,y\in (-{{2}^{n}}-{{1,3}^{n}}-1),n\in \mathbb{Z}$
Αν x<y

και $n\to +\infty$ , τότε $x,y\in \mathbb{R}$ και $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-f(y) \right)\le \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{2}^{n}}}\left( y-x \right) \right)\Rightarrow f(x)-f(y)\le 0\Rightarrow$
$f(x)\le f(y)$ με x<y

, άρα

αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
Επίσης για $x=0:f(0)=f\left( \frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right)$ και όταν $n\to -\infty$ τότε $\frac{1}{{{2}^{n}}}-1\to +\infty$ , άρα $f(0)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ και αφού

αύξουσα άρα η

είναι σταθερή στο $[0,+\infty )$
Και όταν $n\to +\infty$ , τότε f(0)=f(-1)

, άρα

είναι σταθερή στο [-1,0]

Για $x=-2:f(-2)=f\left( -\frac{1}{{{2}^{n}}}-1 \right)$ και όταν $n\to -\infty$ τότε $\frac{1}{{{2}^{n}}}-1\to -\infty$ , άρα $f(-2)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ και αφού

αύξουσα άρα η

είναι σταθερή στο $(-\infty ,-2]$
Και όταν $n\to +\infty$ , τότε f(-2)=f(-1)

, άρα

είναι σταθερή στο [-2,-1]

.
Άρα η $f(x)=c,\forall x\in \mathbb{R}$ , όπου

ένας σταθερός αριθμός.

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 22

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 22

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 22

Μέλη σε σύνδεση