Πολωνέζα!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(a+b)^3 −f(a)^3 −f(b)^3 = 3f(a)f(b)f(a+b) , }$ για κάθε $a,b \in \mathbb{Z}.$

Η άσκηση είναι από εδώ: http://www.om.edu.pl/zadania.pdf
Η προθεσμία του διαγωνισμού είναι 4 Νοεμβρίου. Τη βάζω για όσους θέλουν να ασχοληθούν... Θα την επαναφέρω και τότε...

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ὑπενθυμίζομε τήν ταυτότητα:

$\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz \,=\, (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx), }$

ἀπ´ ὅπου προκύπτει ὅτι ἄν $x,y,z\in\mathbb R$ καί x^3+y^3+z^3=3xyz

, τότε

.

Ἡ δοθεῖσα συναρτησιακή σχέση ἔχει λοιπὀν ὡς συνέπεια ὅτι

$\displaystyle{ f(a+b) =f(a)+f(b), }$

διά κάθε $a,b\in\mathbb Z$ , ἀπ´ ὅπου προκύπτει (θέτοντας a=0

,

) ὅτι, διά κάθε $a\in\mathbb Z$ :

$\displaystyle{ f(a)=ka, }$

γιά κάποιο $k\in\mathbb Z$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Δυστυχῶς ὑπάρχει λάθος στήν λύση πού ἔδωσα.

Ἐν τέλει ΙΣΧΥΕΙ τό ἑξῆς:

Ἄν x,y,z

πραγματικοί καί x^3+y^3+z^3=3xyz

, τότε

ἤ

, διότι

$\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz \,=\, \frac{1}{2}(x+y+z)\big((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\big). }$

Ἄρα, εἴτε

γραμμική εἴτε

σταθερή!

#4

Η παρακάτω συνάρτηση είναι επίσης λύση:

$f(x)=\begin{cases} 0 , \ x\equiv 0 \pmod 3 \\ k , \ x\equiv 1 \pmod 3 \\ -k , \ x\equiv 2 \pmod 3 \end{cases}...$

Αν δεν κάνω λάθος, μαζί με την οικογένεια f(x)=kx

είναι οι μοναδικές...

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Τό δίς ἐξαμαρτεῖν οὐκ ἀνδρός σοφοῦ.

Ἔκανα λάθος καί τίς δύο φορές.

Ἐν τέλει ἰσχύει ὅτι:

$\displaystyle{ f^3(a+b)-f^3(a)-f^3(b)-3f(a)f(b)f(a+b) \,=\, \frac{1}{2}\big( f(a+b)-f(a)-f(b)\big)\big((f(a+b)+f(a))^2+(f(a+b)+f(b))^2+(f(a)-f(b))^2\big). }$

Ἄρα ἡ συναρτησιακή σχέση εἶναι ἱσοδύναμη μέ

$\displaystyle{ f(a+b)=f(a)+f(b), \qquad (\star) }$

εἴτε

$\displaystyle{ f(a+b)=-f(a) \quad \& \quad f(a+b)=-f(b). \qquad (\star\star) }$

Ἡ κατασκευή τῆς

πραγματοποιεῖται ἐπαγωγικῶς (πρός δύο κατευθύνσεις).

Κατ´ ἀρχάς, ὑποχρεωτικῶς f(0)=0

. Ἔστω $f(1)=k\in\mathbb Z$ . Τότε, μέ τά μέχρις στιγμῆς δεδομένα, δυνάμεθα νά ὁρίσομε τό f(2)

κατά δύο τρόπους. Χρησιμοποιῶντας τήν $(\star)$ λαμβάνομε f(2)=2k

ἐνῶ χρησιμοποιῶντας τήν $(\star\star)$ λαμβάνομε f(2)=-k

.

Γνωρίζοντας τήν

στίς τιμές 0,1,2 πλέον ὁρίζεται μονοσήμαντα στίς ὑπόλοιπες τιμές. (Αὐτό ἀποδεικνύεται ἐπαγωγικῶς).Τελικῶς λαμβάνομε τίς ἑξῆς δύο περιπτώσεις:

$\displaystyle{ f(m)=km, }$

καί

$\displaystyle{ f(m)= k \Big( (m+1){\mathrm mod}\,3 -1\Big). }$

Πολωνέζα!

Πολωνέζα!

Re: Πολωνέζα!

Re: Πολωνέζα!

Re: Πολωνέζα!

Re: Πολωνέζα!

Μέλη σε σύνδεση