Καλοκαιρινή συναρτησιακή 30

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(n))=n+f(2) , }$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*.$

Tolis97 · #2

H

είναι επί στο $(f(2), +\infty)$ και από την αρχική εύκολα συμπεραίνουμε πως f(f(n+1)) = f(f(n)) + 1

, που λόγω του επί και της μονοτονίας γίνεται f(n+1)=f(n)+1

. Άρα επαγωγικά (για f(1)=c

) θα είναι f(n) = n+c

. Θέτοντας τώρα στην αρχική όπου f(n)

το

βρίσκουμε πως c=2

, άρα

. Παρατηρούμε πως ικανοποιεί της συνθήκες του προβλήματος οπότε η μοναδική μας λύση είναι η $\fbox{\displaystyle f(n) = n+2}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=527147

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 30

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 30

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 30

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 30

Μέλη σε σύνδεση