Καλοκαιρινή συναρτησιακή 32

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

έχουμε

για κάθε $x\in\Bbb{R}$ .

Άρα $f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y) \iff xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)$ για κάθε $x,y\in\Bbb{R}$ .

Για y=-x

έχουμε

, άρα $xg(-x)=2xg(0)-xg(x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Για $y\to -y$ έχουμε xg(x)+yg(-y)=(x+y)g(x-y)

Άρα $xg(x)+2yg(0)-yg(y)=(x+y)g(x-y)\iff$

$\iff xg(x)-yg(y)=(x+y)g(x-y)-2yg(0)$ .

Αλλά xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)

, άρα $(x-y)g(x+y)=(x+y)g(x-y)-2yg(0)\;,\;\forall x,y\in\Bbb{R}$ .

Για $x\to x+1\;,\;y\to x$ έχουμε

$g(2x+1)=(2x+1)g(1)-2xg(0) \iff g(2x+1)=(2x+1)(g(1)-g(0))+g(0)$ , άρα $g(x)=(g(1)-g(0))x+g(0)\;,\;x\in\Bbb{R}$ .

Αν θέσουμε $g(0)-g(1)=a\;,\;g(0)=b$ , τότε g(x)=ax+b

που επαληθεύει την xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)

.

Άρα

όπου

.

, $g(x)=ax+b\;\;,\;a,b,c\in\Bbb{R}$ που επαληθεύουν την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=552536

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 32

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 32

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 32

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 32

Μέλη σε σύνδεση