Σταθερό σημείο

#1

Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους

τέτοιους ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ που ικανοποιεί τη σχέση $(f{\circ}f)^n(x)=f(x^n)$ για κάθε $x{\in}\Bbb{R}$ να έχει σταθερό σημείο.

#2

Για

, η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)}$ και άρα κάθε αριθμός $\displaystyle{y \in f\left( \mathbb{R} \right)}$ είναι σταθερό σημείο της

.

Έστω ότι n >1

είναι ένας ακέραιος αριθμός που δεν ικανοποιεί τη δοσμένη συνθήκη, δηλαδή υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με

$\displaystyle{{\left[ {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right]^n} = f\left( {{x^n}} \right)}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , η οποία δεν έχει σταθερό σημείο. Τότε, η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) - x}$ θα διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ , οπότε έχουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ $\displaystyle{f\left( x \right) > x}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Τότε, θα είναι $\displaystyle{f\left( 1 \right) > 1 > 0,}$ οπότε:

$\displaystyle{f\left( {f\left( 1 \right)} \right) > f\left( 1 \right) \Rightarrow {\left[ {f\left( {f\left( 1 \right)} \right)} \right]^n} > {\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^n} \Rightarrow f\left( 1 \right) > {\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^n} \Rightarrow f\left( 1 \right) < 1,}$

που είναι άτοπο.

$\bullet$ $\displaystyle{f\left( x \right) < x}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Τότε, από τη σχέση $\displaystyle{{\left[ {f\left( {f\left( 0 \right)} \right)} \right]^n} = f\left( 0 \right) < 0}$ προκύπτει ότι ο

είναι περιττός. Άρα, αφού $\displaystyle{f\left( -1 \right) < -1 <0}$ θα είναι:

$\displaystyle{f\left( {f\left( { - 1} \right)} \right) < f\left( { - 1} \right) \Rightarrow {\left[ {f\left( {f\left( { - 1} \right)} \right)} \right]^n} < {\left[ {f\left( { - 1} \right)} \right]^n} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( { - 1} \right) < \left[ {f\left( { - 1} \right)} \right]^n \Rightarrow {\left[ {f\left( { - 1} \right)} \right]^{n - 1}} < 1 = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) > - 1.}$

που είναι άτοπο.

Ώστε, κάθε θετικός ακέραιος

έχει τη δοσμένη ιδιότητα.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=552285

Σταθερό σημείο

Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση