Ασυνήθιστη υπόθεση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(0) \in \mathbb {Q}}$ και $\displaystyle{ (f(x+y))^2=f(x+f(y)^2) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=553244&

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(0) \in \mathbb {Q}}$ και $\displaystyle{ (f(x+y))^2=f(x+f(y)^2) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=553244&

$f^2(x+y)=f\left(x+f^2(y)\right)\;\;\;(1)$

Έστω $f(0)=p\in\Bbb{Q}$ .

Για $x=0\;,\;y\to x$ στην (1)

έχουμε $f^2(x)=f(f^2(x))\;\;(2)$ .

Για y=0

στην

έχουμε $f^2(x)=f(x+p^2)\;\;(3)$ .

Για $x\to x-p^2$ στην (3)

έχουμε $f(x)=f^2(x-p^2)\geq 0$ , άρα $f(x)\geq 0\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Για x=-p^2

στην

έχουμε

.

Άρα από την (2):

$f^2(-p^2)=f(f^2(-p^2))\iff f(p)=p$ , επομένως $f(f^2(p))=f^2(p)\iff f(p^2)=p^2$ .

Επίσης για x=y=p

στην

έχουμε $f^2(2p)=f(p+f^2(p))=f(p+p^2)\overset{(3)}{=}f^2(p)=p^2$ , άρα $f^2(2p)=p^2\overset{f(x)\geq 0}{\iff}f(2p)=p$ και με επαγωγή $f(np)=p\;,\;n\in\Bbb{N}^*$ .

Επίσης από την (3)

έχουμε $f(p^2+p^2)=f^2(p^2)\iff f(2p^2)=p^4$ και με επαγωγή $f(np^2)=p^{2^n}\;,\;n\in\Bbb{N}$ .

Είναι $f(0)\in\Bbb{Q}$ και $f(0)\geq 0$ , άρα υπάρχουν $k,m\in\Bbb{N},m\neq 0$ ώστε $p=\dfrac{k}{m}$ .

Άρα

$f\left(mp^2\right)=p^{2^{m}} \iff f\left(m\dfrac{k^2}{m^2}\right)=p^{2^{m}}\iff f\left(k\dfrac{k}{m}\right)=p^{2^{m}}\iff$

$\iff f(kp)=p^{2^{m}}\iff p=p^{2^{m}}\iff p=0$ ή $p^{2^{m}-1}=1$ , άρα p=1

(αφού $2^{m}-1$ περιττός) ή $2^{m}-1=0\iff m=0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα p=0

ή

.

$\bullet$ Αν f(0)=p=0

.

Από την (3)

έχουμε $f^2(x)=f(x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ επομένως η f(x)

παίρνει τις τιμές

ή

.

Από την (1)

έχουμε $f^2(x+y)=f(x+f^2(y))\iff f(x+y)=f(x+f(y))$ .

Αν υπάρχει $x_0\in\Bbb{R}$ με f(x_0)=1

, τότε $f(x+x_0)=f(x+f(x_0)) \iff f(x+x_0)=f(x+1)$ και για x=0:

$f(1)=f(x_0)=1 \iff f(1)=1$ .

Άρα 1=f(x_0)=f(-1+x_0+1)=f(-1+f(x_0+1))

.

Αν

, τότε

ΑΤΟΠΟ. Άρα f(x_0+1)=0

επομένως $f(1+x_0)=f(1+1)\iff f(2)=0$ .

Επίσης f(y+x)=f(y+f(x))=f(f(y)+f(x))

, άρα

.

Για $x=\dfrac{1}{2}:$ $f(1)=f\left(2f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\iff 1=f\left(2f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$ .

Αν $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ , τότε 1=f(0)

ΑΤΟΠΟ.

Αν $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$ , τότε 1=f(2)

ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .
$\bullet$ Αν f(0)=p=1

.

Από την (3)

έχουμε $f^2(x)=f(x+1)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ , από την (1)

έχουμε

και για

γίνεται

.

Άρα $f^2(x)=f(x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ επομένως η f(x)

παίρνει τις τιμές

ή

.

Επίσης $f(f(x))=f^2(x)\iff f(f(x))=f(x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Αν υπάρχει $x_0\in\Bbb{R}$ με f(x_0)=0

, τότε $f(f(x_0))=f(x_0)\iff f(0)=0\iff 1=0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=1\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Επομένως $f(x)=0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ ή $f(x)=1\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Ασυνήθιστη υπόθεση

Ασυνήθιστη υπόθεση

Re: Ασυνήθιστη υπόθεση

Μέλη σε σύνδεση