Συναρτησιακή εξίσωση (β)

#1

Παραλλαγή της συναρτησιακής που υπάρχει στο αρχείο που έβαλε ο Βασίλης εδώ: viewtopic.php?f=51&t=40386

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

$\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$

#2

Μοναδική λύση είναι η ταυτοτική συνάρτηση, f(x)=x.

Αυτό μπορούμε να το δείξουμε μέσα από τα επόμενα βήματα:

-- f(x+f(x))=2f(x)

για κάθε

-- $f(x)\geq x$ για κάθε x>0

-- η συνάρτηση f(x)-x

είναι φθίνουσα και τελικά σταθερή.

-- f(x)=x

#3

Αναλυτικά:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=558758

#4

Σε αρκετές συναρτησιακές αυτού του "μοτίβου" μπορούμε να βρούμε λύση χρησιμοποιώντας απλές αντικαταστάσεις (είδαμε κάποιες τέτοιες ασκήσεις...)
Σε αυτήν όμως δεν έχω καταφέρει να βρω μια τέτοια λύση...
Την επαναφέρω μήπως βρεθεί πιο "απλή" λύση..

Petros N. · #5

Δίνω μια λύση με απλές αντικαταστάσεις, αν και η προτεινόμενη λύση κατα τη γνώμη μου έιναι πιό ωραία!

Στην αρχική:
$y=y+f(x+2y) \implies f(x+f(x+y+f(x+2y)))=f(2x)+y+f(x+2y)$ , (1)

$x=x+y \implies f(x+y+f(x+2y))=f(2x+2y)+y$ , (2)

$x=y \implies f(x+f(2x))=f(2x)+x$ , (3)

$(1),(2) \implies f(x+y+f(2x+2y))=f(2x)+y+f(x+2y)$ , (4)

$(3),(4) \implies x+f(2x+y)=f(2x)+f(x+y)$ , (5)

Στην αρχική:
$y=x+y \implies f(x+f(2x+y))=f(2x)+x+y$ $\implies f(f(2x)+f(x+y))=f(2x)+x+y$
όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από την (5)

Στην τελευταία για κάθε 2y>x

θέτω $y=2y-x \implies f(f(2x)+f(2y))=f(2x)+2y$
Στην τελευταία για 2y>x>y/2

μπορεί να γινει αλλαγη των x,y

που δίνει

.

Έστω g(x)=f(x)-x

. Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η

είναι σταθερή στο (y,4y)

άρα εύκολα (επαγωγικά) είναι σταθερή στο $(4^{-n}y,4^ny)$
και αν αφήσουμε το

να τείνει στο άπειρο η

είναι σταθερή σε όλο το R^+

. Έπαληθεύοντας είναι ίση με 0 άρα f(x)=x

#6

Πέτρο, ευχαριστώ πολύ για την ανταπόκριση και την πολύ ωραία διαπραγμάτευση...

Δύο σημειώσεις:

-- Η σχέση x+f(2x+y)=f(2x)+f(x+y), (5)

δίνει ότι $\displaystyle{g(x+y)=g(x)+g(y)}$
οπότε, εφόσον $g(x)\geq 0,$ είναι g(x)=cx

οπότε $\displaystyle{f(x)=(c+1)x}$ και τελικά c=0.

-- Από τη λύση μου, έχουμε $f(y)-y\leq f(2x)-2x,$ για κάθε y>x.

Επομένως, $f(y)-y\leq f(x)-x,$ για κάθε $\displaystyle{ y>\frac{x}{2}, }$ και $\displaystyle{gx)=g(y),}$ για κάθε $\displaystyle{2x> y>\frac{x}{2}, }$
και, όπως στη λύση σου, είναι $\displaystyle{g\equiv 0.}$

Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (β)

Μέλη σε σύνδεση