Συναρτησιακή εξίσωση (δ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x+y))=f(x)+f(y)+f(xy)-xy ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

#2

Η αδερφή της:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x+y)) = f(x+y)+f(x)f(y)-xy ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2#p3273922
(Δεν υπάρχει λύση στο σύνδεσμο.)

panos misiakos · #3

Θα λύσω την δεύτερη συναρτησιακή .

Έστω f(0)=a

τότε για

έπεται $f(a)=a+a^{2}$
Θέτουμε ακόμα x=a,y=-a

και παίρνουμε $f(a)f(-a)=0\Leftrightarrow (a+a^{2})f(-a)=0$
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

-------

Για

στην αρχική προκύπτει f(0)=0

-------

Θέτοντας

στην αρχικη συμπεραίνουμε οτι f(-1)=f(0) +f(0)^2 =-1+1=0

Ακόμη θέτουμε x=-1,y=0

για να λάβουμε $f(f(-1))=f(-1)+f(-1)f(0)-0\Leftrightarrow f(0)=0$ το οποίο είναι άτοπο

Ως εκ τούτου συμπεραίνουμε f(0)=0

Οπότε για

στην αρχική σχέση λαμβάνουμε f(f(x))=f(x)

Συνεπώς η αρχική γράφεται ισοδύναμα f(x)f(y)=xy

δηλαδή $f(x)=\frac{x}{f(1)}$
Αντικαθιστώντας στην δοσμένη σχέση παίρνουμε f(1)=1

.. οπότε

#4

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x+y))=f(x)+f(y)+f(xy)-xy ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=558732

Συναρτησιακή εξίσωση (δ)

Συναρτησιακή εξίσωση (δ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (δ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (δ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (δ)

Μέλη σε σύνδεση