Συναρτησιακή εξίσωση (ζ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(x+f(x)+\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+y+f(y),(1) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Δεν υπάρχουν...

$x=0\quad (1)\Rightarrow f(a+\dfrac{y}{2})=a+y+f(y)\quad (2)\quad ,a=f(0)$

$y=2a\quad (2)\Rightarrow a=0$

$(2)\Rightarrow f(\dfrac{y}{2})=y+f(y)\quad (3)$

$y:=2x+2f(x)\quad (1)\Rightarrow f(\dfrac{x}{2})+2x+2f(x)=0\Rightarrow f(\dfrac{x}{2})=-2x-2f(x)\quad (4)$

$(3),(4)\Rightarrow f(x)=-x$ ,που δεν ικανοποιεί την αρχική.

#3

Συναρτησιακή εξίσωση (ζ)

Συναρτησιακή εξίσωση (ζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ζ)

Μέλη σε σύνδεση