Συναρτησιακή εξίσωση (ια)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

και
$x^2-\sqrt{|x|}\le f(x)\le x^2+\sqrt{|x|}$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
και
$x^2-\sqrt{|x|}\le f(x)\le x^2+\sqrt{|x|}$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Έστω

, τότε

.

Άρα $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\iff$

$\iff g(x+y)+x^2+2xy+y^2=g(x)+x^2+g(y)+y^2+2xy\iff$

$\iff g(x+y)=g(x)+g(y)\;,\;\forall x,y\in\Bbb{R}\;\;(1)$ .

Επίσης $x^2-\sqrt{|x|}\le f(x)\le x^2+\sqrt{|x|}\iff |g(x)|\leq \sqrt{|x|}$ .

Είναι $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sqrt{|x|}=0$ , άρα $\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=0$ .

Για $x_0\in\Bbb{R}$ είναι

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)\overset{u=x-x_o}{=}\lim_{u\to 0}g(u+x_0)=\lim_{u\to 0}[g(u)+g(x_0)]=0+g(x_0)=g(x_0)$ .

Άρα η

είναι συνεχής στο $\Bbb{R}$ .

Λόγω της (1)

(Cauchy) , έχουμε $g(x)=ax\;\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Άρα $|ax|\leq\sqrt{|x|}\;\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Αν $a\neq 0$ , τότε για $x=\dfrac{4}{a^2}$ έχουμε $\left|a\dfrac{4}{a^2}\right|\leq \sqrt{\left|\dfrac{4}{a^2}\right|}\iff \dfrac{4}{|a|}\leq \dfrac{2}{|a|}\iff 4\leq 2$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα a=0

, επομένως g(x)=0

και

για κάθε $x\in\Bbb{R}$ (επαληθεύει).

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=554040

Συναρτησιακή εξίσωση (ια)

Συναρτησιακή εξίσωση (ια)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ια)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ια)

Μέλη σε σύνδεση