Συναρτησιακή εξίσωση (ιβ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(xy)+y^2)=xf(y)+y^2+f(x), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε να ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{f\left(x+f(x\,y)+y^2\right)=x\,f(y)+y^2+f(x)\,,x\in\mathbb{R}\,,(I)}$ .

Η σχέση $\displaystyle{(I)}$ , για $\displaystyle{y=0}$ γράφεται

$\displaystyle{f(x+f(0))=x\,f(0)+f(x)\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Απ' την άλλη, για $\displaystyle{x=0}$ δίνει

$\displaystyle{f\left(y^2+f(0))=y^2+f(0)\,,y\in\mathbb{R}}$ .

Από τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι $\displaystyle{f(f(0))=f(0)\,\,\kappa \alpha \iota}$

$\displaystyle{x^2+f(0)=x^2\,f(0)+f(x^2)\Leftrightarrow f(x^2)=f(0)+\left(1-f(0)\right)\,x^2\,,x\in\mathbb{R}\,\,(II)}$ .

Έστω $\displaystyle{x\geq 0}$ . Τότε, η σχέση $\displaystyle{(II)}$ για $\displaystyle{x\to \sqrt{x}}$ γράφεται

$\displaystyle{f(x)=f(0)+\left(1-f(0)\right)\,x}$ , δηλαδή $\displaystyle{f(x)=f(0)+\left(1-f(0)\right)\,x\,,x\geq 0}$

Έστω τώρα $\displaystyle{x<0}$ . Με την αντικατάσταση $\displaystyle{x\to \sqrt{-x}}$ , έχουμε από την $\displaystyle{(II)}$

$\displaystyle{f(-x)=f(0)+\left(f(0)-1\right)\,x}$ , οπότε $\displaystyle{f(-x)=f(0)+\left(f(0)-1\right)\,x\,,x<0}$

Αν $\displaystyle{f(0)\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)}$ , τότε από το γεγονός ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη στο

διάστημα $\displaystyle{\left[0,+\infty\right)}$ , έχουμε $\displaystyle{f(0)>0\Rightarrow f(f(0))\neq f(0)}$ , άτοπο.

Αν $\displaystyle{f(0)=1}$ , τότε $\displaystyle{f(x)=1\,,x\geq 0}$ , άτοπο διότι δεν επαληθεύει την $\displaystyle{(I)}$ .

Αν $\displaystyle{f(0)<0}$ , τότε $\displaystyle{-f(0)>0\stackrel{(\ast)}{\Rightarrow} f(-f(0))>f(0)\Rightarrow f(0)-f^2(0)+f(0)>f(0)\Rightarrow f(0)\left(1-f(0)\right)>0}$ , άτοπο.

Η σχέση $\displaystyle{(\ast)}$ , προέκυψε από το γεγονός ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=f(0)+\left(1-f(0)\right)\,x\,,x\geq 0}$

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[0,+\infty\right)}$

Έτσι, $\displaystyle{f(0)=0}$ και άρα $\displaystyle{f(x)=x\,,x\in\mathbb{R}}$

Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει τις υποθέσεις και άρα είναι η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί την αρχική.

Ελπίζω να είμαι εντάξει.

#3

Μια λύση:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=559829

Συναρτησιακή εξίσωση (ιβ)

Συναρτησιακή εξίσωση (ιβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιβ)

Μέλη σε σύνδεση