Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(y)+f(x))=f(yf(x))+x , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Antonis_Z · #2

Καλησπέρα.

Αν $f(0)\neq 0$ ,θέτοντας x=0

προκύπτει πως η

είναι σταθερή,που δε γίνεται.
Οπότε f(0)=0

.
Για

:

,δηλαδή

επί και αμφιμονοσήμαντη.
Για x=f(1)

:

και επειδή

:επί,αυτή γράφεται f(f(1)y+1)=y+f(1)

.
Επομένως $f(y)=\frac{y-1}{c}+c$ ,όπου $c=f(1)\neq 0$ (αφού είναι αμφιμονοσήμαντη).
Έχουμε,όμως,και $f(0)=0\Leftrightarrow -\frac{1}{c}+c=0\Leftrightarrow c=1,c=-1$ .
Τελικά οι λύσεις είναι f(x)=x

και

,που επαληθεύουν.

panos misiakos · #3

Μια διαφορετική προσέγγιση

Έστω f(0)=a

Για

στην αρχική λαμβάνουμε f(a)=a

και για

παίρνουμε $f(a^{2}+a)=a+a$
Επιπλέον θετουμε x=0,y=a+1

και προκυπτει $f(a)=f(a^{2}+a)$ δηλαδή $a=2a\Leftrightarrow a=0$

Ακόμη , για y=0

στην αρχική έπεται f(f(x))=x

απο όπου συμπεραίνουμε ότι η

ειναι αμφιμονοσήμαντη

Θέτουμε f(1)=b

Για

στην αρχική σχέση προκύπτει f(xf(x) +f(x))= f(xf(x)) +x

Απο όπου για x=1

έχουμε

Στην αρχική σχέση για x=b,y=1

λαμβάνουμε $f(b^{2}+1)=2b\Rightarrow b^{2}+1=2 \Leftrightarrow b=+/-1$
========================================

Για

στην αρχική παίρνουμε f(x+ f(x))=2x

από όπου για x=f(x)

έπεται

Οπότε λαμβάνουμε την συνάρτηση f(x)=x

η οποία ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση
========================================

ii)

$f(1)=-1\Rightarrow f(f(1))=f(-1)\Rightarrow f(-1)=1$
Στην αρχικη θέτουμε όπου

το

και λαμβάνουμε $f(-f(y)+1)=f(y)-1\Rightarrow f(-y+1)=y-1\Rightarrow f(y)=-y$
Αφού η

ειναι αμφίμονοσήμαντη .
Η f(x)=-x

επαληθεύει την δεδομένη εξίσωση και επομένως αποτελεί λύση

#4

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=555063

Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Μέλη σε σύνδεση