Συναρτησιακή εξίσωση (κγ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=4f(x)-f(y)-3x , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=4f(x)-f(y)-3x , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Έστω

.

Για

, έχουμε $f(-f(0))=4f(0)-f(0)\iff f(-a)=3a$ .

Για $x=2a\;,\;y=-a$ , έχουμε $f(2a-f(-a))=4f(2a)-f(-a)-3\cdot 2a\iff$

$\iff f(2a-3a)=4f(2a)-3a-6a\iff 3a=4f(2a)-9a\iff f(2a)=3a$ .

Για $x=2a\;,\;y=0$ έχουμε

$f(2a-f(0))=4f(2a)-f(0)-3\cdot 2a\iff$

$\iff f(a)=12a-a-6a\iff f(a)=5a$ .

Για $x=a\;,\;y=0$ έχουμε

$f(a-f(0))=4f(a)-f(0)-3\cdot a\iff$

$\iff f(0)=20a-a-3a\iff a=16a\iff a=0$ .

Επομένως f(0)=0

.

Για

, έχουμε $f(x-f(0))=4f(x)-f(0)-3x\iff f(x)=x\;,\;x\in\Bbb{R}$ .

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=447739

Συναρτησιακή εξίσωση (κγ)

Συναρτησιακή εξίσωση (κγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κγ)

Μέλη σε σύνδεση