Συναρτησιακή εξίσωση (κστ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(xf\left(y\right)\right)+f\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right) = yf\left(x\right)+f\left(x+f\left(y\right)\right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Antonis_Z · #2

Καλησπέρα.Μια λύση με επιφυλάξεις.

Προφανώς η μηδενική συνάρτηση είναι λύση.
Έστω,τώρα,ότι η

δεν είναι μηδενική.
Σταθεροποιώντας το

σε αριθμό που η συνάρτηση δε μηδενίζεται,έχουμε ότι η

είναι 1-1(ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία...).
Θέτουμε y=1,x=0

:

ή

.
Για

: $f(f(x))=f(x)\Leftrightarrow f(x)=x$ .

Τελικά οι λύσεις είναι f(x)=x

ή

.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=471789

Συναρτησιακή εξίσωση (κστ)

Συναρτησιακή εξίσωση (κστ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κστ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κστ)

Μέλη σε σύνδεση