Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5588
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου »

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb R X \mathbb R \rightarrow \mathbb R με την ιδιότητα :

xf(-x,y) + yf(x,-y) = (x-y)^2 , \forall x,y \in \mathbb R

Μπάμπης

(Διαγωνισμός N.Coculescu, τάξη Χ - 2008)
Κορυφή
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad »

Περιεργη ασκηση.
Βλεπουμε οτι το δεξι μελος ειναι συμμετρικο ως προς τα x,y αρα και το αριστερο.

Δηλαδη εχουμε, οτι yf(-y,x)+xf(y,-x)=xf(-x,y)+yf(x,-y) \leftrightarrow f(-x,y)=-f(x,-y) με x διαφορο του y.

Με y=x, εχoυμε ομως και πως ισχυει xf(-x,x)+xf(x,-x)=0 απο οπου παιρνουμε γενικα οτι f(-x,y)=-f(x,-y) εκτος απο το (0,0)

Aντικαθιστωντας στην αρχικη συμπεραινουμε τωρα πως,
ισχυει f(x,y)=-(x+y) με x διαφορο του -y

και οτι η f(x,-x) ειναι μια συναρτηση που παιρνει οποιαδηποτε τιμη ως προς οποιοδηποτε x, λογω ομως περιττοτητας(εκτος του μηδενος) αρκει να καθοριστει για x\geq 0

Παρατηρουμε οτι ολες αυτες οι συναρτησεις ικανοποιουν.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες