Συναρτησιακή εξίσωση (λβ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y)+f(x))(f(x+y)+f(y))=(2x+f(y))(2y+f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}^*.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y)+f(x))(f(x+y)+f(y))=(2x+f(y))(2y+f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}^*.$

Για

έχουμε

. Αλλά $x\;,\;f(x)\in\Bbb{N}^*$ , άρα $f(2x)+f(x)=2x+f(x)\iff f(2x)=2x\;\;\forall x\in\Bbb{N}^*$ .

Για $x=2n+1\;,\;y=2n-1\;,\;n\in\Bbb{N}^*$ έχουμε:

$\left[f(4n)+f(2n+1)\right]\left[f(4n)+f(2n-1)\right]=\left[4n+2+f(2n-1)\right]\left[4n-2+f(2n+1)\right]\iff$

$\iff 16n^2+4nf(2n-1)+4nf(2n-1)+f(2n+1)f(2n-1)=$

=16n^2-4+4nf(2n+1)+2f(2n+1)+4nf(2n-1)-2f(2n-1)+

$+f(2n+1)f(2n-1)\iff$

$\iff f(2n+1)=f(2n-1)+2$ .

Έστω a_n=f(2n-1)

, τότε $a_{n+1}=f(2(n+1)-1)=f(2n+1)=f(2n-1)+2=a_n+2$ .

Άρα η a_n

είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά

, επομένως $a_n=a_1+(n-1)\cdot 2=2n-2+f(1)\iff f(2n-1)=2n-1+(f(1)-1)$ .

Επίσης για $x=2n\;,\;y=1\;,\;n\in\Bbb{N}^*$ έχουμε:

$\left[f(2n+1)+f(2n)\right]\left[f(2n+1)+f(1)\right]=\left[4n+f(1)\right]\left[2+f(2n)\right]\iff$

$\iff\left[2n+1+f(1)-1+2n\right]\left[2n+1+f(1)-1+f(1)\right]=\left[4n+f(1)\right]\left[2+2n\right]\iff$

$\iff\left[4n+f(1)\right]\left[2n+2f(1)\right]=\left[4n+f(1)\right]\left[2+2n\right]\iff f(1)=1$

Άρα f(2n)=2n

και

για κάθε $n\in\Bbb{N}^*$ , δηλαδή $f(x)=x\;\;\forall x\in\Bbb{N}^*$ .

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=350407

#4

Ας δούμε και το παρόμοιο:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y)+f(x))(f(x+y)+f(y))=(2x+f(y))(2y+f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Ενδιαφέρον φαίνεται και το εξής, για το οποίο όμως δεν έχω λύση...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y)+f(x))(f(x+y)+f(y))=(2x+f(y))(2y+f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

Συναρτησιακή εξίσωση (λβ)

Συναρτησιακή εξίσωση (λβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λβ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λβ)

Μέλη σε σύνδεση