Συναρτησιακή εξίσωση (λθ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

panos misiakos · #2

Λοιπόν αρχικά θέτοντας x=y=0

λαμβάνουμε $f(-a^{2})=0$ οπου a=f(0)

Επιπλέον για $y=-a^{2} , x=0$ έπεται $a=-a^{4} \Leftrightarrow a=0$ ή a=-1

έστω

τοτε για

προκύπτει

όμως απο την αρχική για $f(y_{1})=f(y_{2})$ λαμβάνουμε $y_{1}=+/-y_{2}$ ... δηλαδή 0=+/-1

άτοπο
Αρα f(0)=0

Για

στην αρχική έπεται $f(x^{2})=xf(x)$ (1)

Θέτοντας οπου

το

στην

λαμβάνουμε f(-x)=-f(x)

Για

στην αρχική συμπεραίνουμε $f(-f(y)^{2})=-y^{2}$ και λογω της (2)

$f(f(y)^{2})=y^{2}$ ... οπότε η f είναι επί .

Γραφουμε ισοδύναμα την αρχική σχέση : $f(x^{2}- f(y)^{2})= f(x^{2}) + f(-f(y)^{2})$
Συνεπάγεται f(x+y)=f(x)+f(y)

για κάθε $x\geq 0$ και $y\leq 0$ (3)

Λόγω της

η

θα ισχύει για καθε x,y

Στην

αντικαθιστούμε το

με

και λόγω της (3)

προκύπτει

Αντικαθιστούμε στην αρχική και παίρνουμε f(1)=1

δηλαδή

για καθε

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=508232
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=575180

Συναρτησιακή εξίσωση (λθ)

Συναρτησιακή εξίσωση (λθ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λθ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λθ)

Μέλη σε σύνδεση