Ακουλουθία με ύπαρξη

#1

Με γιορτινή διάθεση...

Δίνεται η ακολουθία x_n

για την οποία γνωρίζουμε ότι $x_n=3x_{n-1}+2$ για όλους τους θετικούς ακέραιους

. Να δείξετε ότι υπάρχει κατάλληλος όρος x_0

της ακολουθίας ώστε o $x_{100}$ να διαιρείται από το 2014.

Καλή χρονιά να 'χουμε....

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε:Με γιορτινή διάθεση...

Δίνεται η ακολουθία για την οποία γνωρίζουμε ότι $x_n=3x_{n-1}+2$ για όλους τους θετικούς ακέραιους . Να δείξετε ότι υπάρχει κατάλληλος όρος της ακολουθίας ώστε o $x_{100}$ να διαιρείται από το 2014.

Καλή χρονιά να 'χουμε....

Αλέξανδρος

Η ακολουθία $\displaystyle{{x_n}}$ έχει τύπο $\displaystyle{{x_n} = {3^n}\left( {{x_0} + 1} \right) - 1}$ . “Μαντεύουμε” τον τύπο της και τον αποδεικνύουμε επαγωγικά (βρίσκεται και αλλιώς) ..

οπότε $\displaystyle{{x_{100}} = {3^{100}}\left( {{x_0} + 1} \right) - 1}$ .

Όμως $\displaystyle{{\rm M}{\rm K}\Delta \left( {{3^{100}},\;2014} \right) = 1}$ επομένως η διοφαντική εξίσωση $\displaystyle{a \cdot {3^{100}} + b \cdot 2014 = 1}$ έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους, διότι γνωρίζουμε ότι :

Η γραμμική διοφαντική εξίσωση $\displaystyle{a \cdot x + b \cdot y = c}$ έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης $\displaystyle{d}$ των $\displaystyle{a,b}$ διαιρεί τον $\displaystyle{c}$ και αν η εξίσωση αυτή

έχει μια λύση $\displaystyle{\left( {{x_o},\;{y_o}} \right)}$ , τότε έχει άπειρες λύσεις $\displaystyle{\left( {x,\;y} \right)}$ , που δίνονται από τους τύπους $\displaystyle{x = {x_o} + \frac{b}{d} \cdot k,\quad y = {y_o} - \frac{a}{d} \cdot k}$ με $\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}$ .

Επομένως υπάρχει κατάλληλος $\displaystyle{{x_o}}$ ώστε $\displaystyle{\left( {{x_o} + 1} \right) \cdot {3^{100}} + b \cdot 2014 = 1 \Rightarrow \left( {{x_o} + 1} \right) \cdot {3^{100}} - 1 = k \cdot 2014}$ (για την ακρίβεια υπάρχουν άπειροι).

Καλή χρονιά να έχουμε Αλέξανδρε ..

Ακουλουθία με ύπαρξη

Ακουλουθία με ύπαρξη

Re: Ακουλουθία με ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση