Εύκολη συναρτησιακή

gavrilos · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+f(y))=f(x+y)+1}$ .

#2

gavrilos έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+f(y))=f(x+y)+1}$ .

Αφού είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και ένα προς ένα.

Για x=0

έχω:

Για

έχω:

$\displaystyle{(1) \Rightarrow f(f(f(y))) = f(f(y) + 1)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} f(f(y)) + 1 = f(y + 1) + 1 \Rightarrow f(f(y)) = f(y + 1)\mathop \Rightarrow \limits^{1 - 1} f(y) = y + 1,y \in \mathbb{R}}$

Η συνάρτηση $f(x)=x+1,x \in \mathbb{R}$ είναι δεκτή αφού επαληθεύει.

gavrilos · #3

Λίγο διαφορετικά όπως την έλυσα εγώ:

Για $\displaystyle{x=0}$ .έχουμε $\displaystyle{f(f(y))=f(y)+1\Leftrightarrow f(f(x))=f(x)+1}$ .

Για $\displaystyle{y=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+f(0))=f(x)+1=f(f(x))}$ κι επειδή η συνάρτηση είναι $\displaystyle{1-1}$ θα είναι $\displaystyle{f(x)=x+f(0)}$ .

Άρα $\displaystyle{f(x+f(y))=x+f(y)+f(0)=x+y+2f(0)}$ και $\displaystyle{f(x+y)+1=x+y+1+f(0)}$ .

Επειδή οι παραπάνω είναι τα δύο μέλη της αρχικής ισότητας θα έχουμε $\displaystyle{x+y+2f(0)=x+y+1+f(0)\Leftrightarrow f(0)=1\Leftrightarrow f(x)=x+1}$ .

Εύκολη συναρτησιακή

Εύκολη συναρτησιακή

Re: Εύκολη συναρτησιακή

Re: Εύκολη συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση