Συναρτησιακή με f,g

#1

Να βρείτε τις συναρτήσεις $f,g :\mathbb R\to \mathbb R$ για τις οποίες ισχύει

$xf(x+y)-yf(x-y)=g^2(x)+g^2(y) \quad \forall x,y \in \mathbb R$

Antonis_Z · #2

Μια προσπάθεια.

Για x=y=0

:

.
Για

:

,άρα η αρχική γίνεται xf(x+y)-yf(x-y)=xf(x)+yf(y)

(1).
Στην (1) για x=0

:

(περιττή).
Με εναλλαγή των x,y

στην (1) και με χρήση του ότι η συνάρτηση είναι περιττή έχουμε yf(x+y)+xf(x-y)=xf(x)+yf(y)

,άρα

(2).
Στη (2) για $x\rightarrow\frac{x+y}{2},y\rightarrow\frac{x-y}{2}$ λαμβάνουμε $xf(y)=yf(x)\Rightarrow f(x)=cx$ .
Επομένως $g^2(x)=cx^2,f(x)=cx,c\geq 0$ .Υπάρχουν άπειρες πιθανές

.

Συναρτησιακή με f,g

Συναρτησιακή με f,g

Re: Συναρτησιακή με f,g

Μέλη σε σύνδεση