Συναρτησιακή εξίσωση στους ρητούς

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ , με την ιδιότητα

$\displaystyle{f\left( {x + 3f\left( y \right)} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2y}$

για κάθε $x, y \in \mathbb{Q}$ .

#2

Για

βρίσκουμε $f\left(y-3f(y) \right)=-2y.$

Αν εφαρμόσουμε την αρχική βάζοντας όπου

το

προκύπτει $f\left(x-6y \right)=f(x)-2y+2\left(y-3f(y) \right)$ ή

$f\left(x-6y \right)=f(x)-6f(y).$

Για x=y=0,

Για

οπότε

και έτσι

Άρα

όπου

σταθερά.

Αντικαθιστώντας στην αρχική βρίσκουμε ότι a=1

ή $a=-\dfrac{2}{3}.$ Συνεπώς

f(x)=x

για κάθε $x\in\mathbb Q$ ή $f(x)=-\dfrac{2}{3}x$ για κάθε $x\in\mathbb Q.$

Συναρτησιακή εξίσωση στους ρητούς

Συναρτησιακή εξίσωση στους ρητούς

Re: Συναρτησιακή εξίσωση στους ρητούς

Μέλη σε σύνδεση