Συναρτησιακή εξίσωση (μη)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^4-y^4)=(x-y)(x^2+y^2)((f(x)+f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x^4-y^4)=(x-y)(x^2+y^2)((f(x)+f(y)),{\color{blue}(1)} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$y=x\quad (1)\Rightarrow f(0)=0$

$y:=-y\quad (1)\Rightarrow f(x^4-y^4)=(x+y)(x^2+y^2)(f(x)+f(-y)){\color{blue}(2)}\stackrel{y=x\neq 0}\Longrightarrow$

f(-x)=-f(x)

${\color{blue}(2)}\Rightarrow f(x^4-y^4)=(x+y)(x^2+y^2)(f(x)-f(y)){\color{blue}(3)}$

${\color{blue}(1),(3)}\Rightarrow xf(y)=yf(x), x,y\neq 0$ ,άρα $f(x)=cx ,x\neq 0,c\in \mathbb R$

$f(x)=cx,x\in \mathbb R$ ικανοποιεί την αρχική.

#3

Συναρτησιακή εξίσωση (μη)

Συναρτησιακή εξίσωση (μη)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μη)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μη)

Μέλη σε σύνδεση